Esercizio equazione differenziale 4
Devo risolvere un'equazione differenziale
$$ xy' + y = 0 $$
E' un'equazione differenziale del primo ordine perché la derivata più alta è la derivata prima y'.
Esplicito la variabile y' in funzione delle altre
$$ y' = - \frac{y}{x} $$
Si tratta di un'equazione a variabili separabili y'=f(x)g(y) considerando f(x)=-1/x e g(y)=y
Scrivo la derivata prima y' nella notazione dy/dx
$$ \frac{dy}{dx} = - \frac{y}{x} $$
Poi separo le variabili x e y
$$ \frac{dy}{y} = - \frac{dx}{x} $$
Integro entrambi i membri dell'equazione per le rispettive variabili x e y
$$ \int \frac{dy}{y} = \int - \frac{dx}{x} $$
$$ \int \frac{1}{y} \ dy = \int - \frac{1}{x} \ dx $$
$$ \int \frac{1}{y} \ dy = - \int \frac{1}{x} \ dx $$
Il primo integrale si risolve con la primitiva F(y)=log(y)+c1
$$ \log(y) + c_1 =- \int \frac{1}{x} \ dx$$
Il secondo integrale si risolve con la primitiva F(x)=log(x)+c2
$$ \log(y) + c_1 = - \log(x) + c_2 $$
Le costanti c1 e c2 le considero come un'unica costante c3=c2+c1
Non è importante il segno della costante (più o meno) perché per definizione la costante può assumere qualsiasi valore reale.
$$ \log(y) = - \log(x) + c_3 $$
Porto al primo membro i logaritmi
$$ \log(y) + \log(x) = c_3 $$
Secondo la proprietà dei logaritmi log(y)+log(x)=log(xy)
$$ \log( xy ) = c_3 $$
Per eliminare il logaritmo applico l'esponenziale in entrambi i membri dell'equazione
$$ e^{\log( xy ) } = e^{c_3} $$
$$ xy = e^{c_3} $$
Il numero di Nepero (e) elevato per la costante c3 è un valore costante.
Quindi posso considere c=ec3 come una costante generica c che può assumere qualsiasi valore reale.
$$ xy = c $$
A questo punto esplicito la variabile y.
Il risultato è la soluzione generale dell'equazione differenziale.
$$ y = \frac{c}{x} $$
Metodo alternativo di risoluzione
L'equazione differenziale precedente posso risolverla anche usando un altro metodo
$$ xy' + y = 0 $$
Divido entrambi i membri per x
$$ \frac{xy' + y}{x} = \frac{0}{x} $$
$$ y' + \frac{y}{x} = 0 $$
Ottengo un'equazione lineare del tipo y+a(x)y'=b(x) dove a(x)=1/x e b(x)=0
Quindi posso usare il metodo di Lagrange.
$$ y= e^{-\int a(x) dx} \cdot [ \int b(x) \cdot e^{\int a(x) dx} \ dx + c ] $$
Sostituisco a(x)=1/x e b(x)=0
$$ y= e^{-\int \frac{1}{x} dx } \cdot [ \int 0 \cdot e^{\int \frac{1}{x} dx} \ dx + c ] $$
$$ y= e^{-\int \frac{1}{x} dx } \cdot c $$
L'integrale ∫ 1/x dx = log x + c
Essendoci già una costante c nell'equazione indico solo ∫ 1/x dx = log x
$$ y= e^{- \log x} \cdot c $$
$$ y= \frac{1}{e^{ \log x}} \cdot c $$
L'esponenziale e il logaritmo sono funzioni inverse quindi elog x = x
$$ y= \frac{1}{x} \cdot c $$
Il risultato è la soluzione generale dell'equazione differenziale.
$$ y= \frac{c}{x} $$
Il risultato è sempre lo stesso.
E così via
