Esercizio equazione differenziale 4

Devo risolvere un'equazione differenziale

$$xy' + y = 0$$

E' un'equazione differenziale del primo ordine perché la derivata più alta è la derivata prima y'.

Esplicito la variabile y' in funzione delle altre

$$y' = - \frac{y}{x}$$

Si tratta di un'equazione a variabili separabili y'=f(x)g(y) considerando f(x)=-1/x e g(y)=y

Scrivo la derivata prima y' nella notazione dy/dx

$$\frac{dy}{dx} = - \frac{y}{x}$$

Poi separo le variabili x e y

$$\frac{dy}{y} = - \frac{dx}{x}$$

Integro entrambi i membri dell'equazione per le rispettive variabili x e y

$$\int \frac{dy}{y} = \int - \frac{dx}{x}$$

$$\int \frac{1}{y} \ dy = \int - \frac{1}{x} \ dx$$

$$\int \frac{1}{y} \ dy = - \int \frac{1}{x} \ dx$$

Il primo integrale si risolve con la primitiva F(y)=log(y)+c₁

$$\log(y) + c_1 =- \int \frac{1}{x} \ dx$$

Il secondo integrale si risolve con la primitiva F(x)=log(x)+c₂

$$\log(y) + c_1 = - \log(x) + c_2$$

Le costanti c₁ e c₂ le considero come un'unica costante c₃=c₂+c₁

Non è importante il segno della costante (più o meno) perché per definizione la costante può assumere qualsiasi valore reale.

$$\log(y) = - \log(x) + c_3$$

Porto al primo membro i logaritmi

$$\log(y) + \log(x) = c_3$$

Secondo la proprietà dei logaritmi log(y)+log(x)=log(xy)

$$\log( xy ) = c_3$$

Per eliminare il logaritmo applico l'esponenziale in entrambi i membri dell'equazione

$$e^{\log( xy ) } = e^{c_3}$$

$$xy = e^{c_3}$$

Il numero di Nepero (e) elevato per la costante c₃ è un valore costante.

Quindi posso considere c=e^c₃ come una costante generica c che può assumere qualsiasi valore reale.

$$xy = c$$

A questo punto esplicito la variabile y.

Il risultato è la soluzione generale dell'equazione differenziale.

$$y = \frac{c}{x}$$

Metodo alternativo di risoluzione

L'equazione differenziale precedente posso risolverla anche usando un altro metodo

$$xy' + y = 0$$

Divido entrambi i membri per x

$$\frac{xy' + y}{x} = \frac{0}{x}$$

$$y' + \frac{y}{x} = 0$$

Ottengo un'equazione lineare del tipo y+a(x)y'=b(x) dove a(x)=1/x e b(x)=0

Quindi posso usare il metodo di Lagrange.

$$y= e^{-\int a(x) dx} \cdot [ \int b(x) \cdot e^{\int a(x) dx} \ dx + c ]$$

Sostituisco a(x)=1/x e b(x)=0

$$y= e^{-\int \frac{1}{x} dx } \cdot [ \int 0 \cdot e^{\int \frac{1}{x} dx} \ dx + c ]$$

$$y= e^{-\int \frac{1}{x} dx } \cdot c$$

L'integrale ∫ 1/x dx = log x + c

Essendoci già una costante c nell'equazione indico solo ∫ 1/x dx = log x

$$y= e^{- \log x} \cdot c$$

$$y= \frac{1}{e^{ \log x}} \cdot c$$

L'esponenziale e il logaritmo sono funzioni inverse quindi e^{log x} = x

$$y= \frac{1}{x} \cdot c$$

Il risultato è la soluzione generale dell'equazione differenziale.

$$y= \frac{c}{x}$$

Il risultato è sempre lo stesso.

E così via