Esercizio equazione differenziale 13
Devo risolvere l'equazione differenziale
$$ y'+y=x $$
E' un'equazione differenziale del primo ordine.
E' un'equazione differenziale lineare del tipo y'+a(x)y=b(x) dove a(x)=1 e b(x)=x.
Per risolverla uso il metodo di Lagrange.
$$ y = e^{-\int a(x) dx} \cdot [ \int b(x) \cdot e^{\int a(x) dx} dx + c ] $$
Sostituisco a(x)=1 e b(x)=1
$$ y = e^{-\int 1 dx} \cdot [ \int x \cdot e^{\int 1 dx} dx + c ] $$
L'integrale di ∫1 è la primitiva x.
$$ y = e^{-x} \cdot [ \int x \cdot e^x dx + c ] $$
Per risolvere l'integrale ∫x·ex applico il metodo di integrazione per parti ∫fg'=fg-∫f'g considerando f=x e g'=ex
$$ y = e^{-x} \cdot [ x \cdot e^x - \int 1 \cdot e^x dx + c ] $$
$$ y = e^{-x} \cdot [ x \cdot e^x - \int e^x dx + c ] $$
L'integrale di ∫ex è la primitiva ex
$$ y = e^{-x} \cdot [ x \cdot e^x - e^x + c ] $$
$$ y = e^{-x} \cdot x \cdot e^x - e^{-x} \cdot e^x + e^{-x} \cdot c $$
Sapendo che prodotto e-xex é uguale a 1
$$ y = 1 \cdot x - 1 + e^{-x} \cdot c $$
Il risultato finale è la soluzione generale dell'equazione differenziale.
$$ y = x + e^{-x} \cdot c - 1 $$
E così via.
