Esercizio equazione differenziale 10
In questo esercizio devo risolvere l'equazione differenziale
$$ 2yy'-x^2 = 0 $$
Divido entrambi i membri per 2y per ricavare y'
$$ \frac{2yy'}{2y}-\frac{x^2}{2y} = 0 $$
$$ y'-\frac{x^2}{2y} = 0 $$
E' un'equazione differenziale a variabili separabili y'+f(x)g(y)=0 con f(x)=-x^2 e g(y)=2y.
Scrivo la derivata prima y' nella notazione dy/dx
$$ \frac{dy}{dx}-\frac{x^2}{2y} = 0 $$
Separo le variabili x e y nei due membri dell'equazione.
A sinistra la variabili y e a destra la variabile x.
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{2y} $$
$$ 2y \cdot dy = x^2 \cdot dx $$
Integro entrambi i membri
$$ \int 2y \ dy = \int x^2 \ dx $$
L'integrale di x2 è la primitiva x3/3+c
$$ \int 2y \ dy = \frac{x^3}{3} +c $$
L'integrale di 2y è la primitiva y2
$$ y^2 = \frac{x^3}{3} +c $$
Per ricavare la funzione incognita y calcolo la radice quadrata in entrambi i membri dell'equazione
$$ \sqrt{y^2} = \sqrt{ \frac{x^3}{3} +c } $$
Il risultato è la soluzione generale dell'equazione differenziale.
$$ y = \sqrt{ \frac{x^3}{3} +c } $$
E così via.
