Esercizio equazione differenziale 1
Devo risolvere l'equazione differenziale
$$ 2x (y^2+1)-y' = 0 $$
Si tratta di un'equazione differenziale del 1° ordine perché la derivata più alta è la derivata prima y'.
Non è un'equazione differenziale lineare perché la funzione incognita è un quadrato y2.
Per prima cosa scrivo l'equazione differenziale in forma normale, esplicito la derivata prima y' in funzione di tutte le altre.
$$ y' = 2x (y^2+1) $$
In questa forma è ben evidente che si tratta di un'equazione differenziale del tipo y'=f(x)·g(y) risolvibile tramite il metodo delle variabili separabili assegnando f(x)=2x e g(y)=y2+1.
Indico la derivata prima nella notazione di Leibniz y'=dy/dx
$$ \frac{dy}{dx} = 2x (y^2+1) $$
Separo le due variabili portando al primo membro dell'equazione la y e al secondo membro la x.
$$ \frac{dy}{y^2+1} = 2x \cdot dx $$
A questo punto integro entrambi i membri per le rispettive variabili.
$$ \int \frac{dy}{y^2+1} = \int 2x \ dx $$
$$ \int \frac{1}{y^2+1} \ dy = \int 2x \ dx $$
La primitiva che risolve l'integrale a sinistra è la funzione F(y)=arctan(y)+c
$$ \arctan(y) + c_1 = \int 2x \ dx $$
Nota. La derivata dell'arcotangente è $$ D[ \arctan(y) ] = \frac{1}{1+y^2} $$
La primitiva che risolve l'integrale a destra è la funzione F(x)=x2+c
$$ \arctan(y) + c_1 = x^2 + c_2 $$
Considero una sola volta la costante c=c1+c2
$$ \arctan y = x^2 + c $$
Applico la tangente a entrambi i membri dell'equazione differenziale per trovare la funzione y.
$$ \tan ( \arctan y ) = \tan( x^2 + c ) $$
$$ y = \tan( x^2 + c ) $$
Nota. La tangente è la funzione inversa dell'arcotangente. Quindi la tangente dell'arcotangente è l'argomento y. $$ \tan( \arctan y ) = y $$
Pertanto, la soluzione generale dell'equazione differenziale è
$$ y(x) = \tan( x^2 + c ) $$
E così via
