Espressioni algebriche

Un’espressione algebrica è una scrittura matematica formata da numeri, lettere che rappresentano variabili e simboli di operazione come $ + $, $ − $, $ · $, $ : $ e le parentesi tonde, quadre o graffe.

E' utilizzata per rappresentare relazioni tra quantità che possono variare.

Ecco un esempio pratico di espressione algebrica

$$ 2x^2 + xy - x $$

In genere, in un espressione algebrica il simbolo di moltiplicazione viene spesso omesso Quindi $ xy $ significa $ x · y $.

Nota. Quando si assegno dei valori numerici alle variabili, l’espressione algebrica si trasforma in un’espressione numerica. Ad esempio, se $ x=3 $ e $ y = 4 $ $$ 2x^2 + xy - x = 2(3)^2 + 3 \cdot 4 -3 = 18 + 12 - 3 = 27 $$

Tipi di espressioni algebriche

Esistono diversi tipi di espressioni algebriche

• Espressioni razionali
  Sono quelle che contengono solo operazioni algebriche classiche: somma, sottrazione, moltiplicazione, divisione e potenze con esponenti interi. Ad esempio, l'espressione $ x+y $ è razionale perché è una semplice somma di variabili. Allo stesso modo anche le espressioni $ \frac{x+1}{y-2} $ e $ (x+2y)^3 $ sono razionali.
• Espressioni irrazionali
  Includono anche radici o espressioni con radicandi contenenti variabili. Sono più complesse da risolvere. Ad esempio, l'espressione $ \sqrt{x+2} $ è un'espressione irrazionale perché un termine è con radice.
• Espressioni intere
  Non contengono variabili al denominatore né esponenti negativi. Ad esempio, $ x^2+y^2 $ e $ (2x+1)^2 $ sono espressioni algebriche intere. Anche se c’è una divisione e il denominatore è un numero, come $ \frac{x+y}{2} $l'espressione resta intera.
• Espressioni frazionarie
  Queste espressioni algebriche contengono variabili al denominatore o variabili con esponenti negativi. Ad esempio, l'espressione $ \frac{x+1}{x-1} $ è frazionale perché l'incognita $ x $ compare al denominatore. Anche l'espressione $ 2yx^{-1} $ è frazionaria perché l'incognita ha un potenza negativa che equivale a una variabile al denominatore $ \frac{2y}{x} $. Quindi, la presenza di una variabile in un denominatore, anche sotto forma di esponente negativo, rende l’espressione frazionaria.

  Nota. Le espressioni frazionarie non sono sempre definite. Quando il denominatore diventa zero, l’espressione perde significato perché si trasforma in una divisione per zero. Ad esempio, l'espressione $ \frac{x+1}{x-1} $ non è definita se $ x=1 $ perché il denominatore $ x-1 $ si annulla. In questi casi, per evitare la divisione per zero si impone una condizione di esistenza $ x \ne 1 $. Pertanto, ogni espressione va analizzata con attenzione, verificando sempre che non si creino denominatori nulli e che si possano assegnare valori coerenti alle variabili.

Un esempio pratico

Considero l’espressione algebrica:

\[ E(x, y) = \frac{2x^2 - 3xy + y^2}{x - y} + \frac{x^2 - y^2}{x + y} \]

Questa è un’espressione razionale frazionaria. E' razionale perché non contiene radici ed è frazionaria perché contiene variabili al denominatore. 

Essendo frazionale, devo imporre delle condizioni di esistenza per evitare divisioni per zero. In altre parole i denominatori non devono annullarsi:

\( x - y \neq 0 \) quindi \( x \neq y \)

\( x + y \neq 0 \) quindi \( x \neq -y \)

A questo punto posso procedere con la semplificazione passo per passo.

Scompongo i numeratori se possibile. In questo caso \( x^2 - y^2 \) è una differenza di quadrati, quindi \(
x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)\)

\[ E(x, y) = \frac{2x^2 - 3xy + y^2}{x - y} + \frac{(x - y)(x + y)}{x + y} \]

Questo mi permette di semplificare la seconda frazione.

\[E(x, y) = \frac{2x^2 - 3xy + y^2}{x - y} + (x - y)\]

Ora sommo le due frazioni.

\[E(x, y) = \frac{2x^2 - 3xy + y^2 + (x - y)(x-y) }{x - y}\]

\[E(x, y) = \frac{2x^2 - 3xy + y^2 + (x - y)^2 }{x - y}\]

Poi calcolo il quadrato del binomio $ (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 $

\[ E(x, y) = \frac{2x^2 - 3xy + y^2 + x^2 - 2xy + y^2}{x - y} \]

Sommo i termini al numeratore:

\[ E(x, y) = \frac{3x^2 - 5xy + 2y^2}{x - y} \]

Questa è l'espressione ridotta ai minimi termini.

A questo punto, posso anche valutare l'espressione assegnandogli dei  valori compatibili con le condizioni di esistenza. Ad esempio,  $ x = 3 $,  $ y = 1 $ vanno bene perché $ x ≠ y $ e $ x ≠ -y $. Sostituisco i numeri alle variabili e ottengo \[ E(3, 1) = \frac{3 \cdot 3^2 - 5 \cdot 3 \cdot 1 + 2 \cdot 1^2}{3 -1} \] \[ E(3,1) = \frac{3 \cdot 9 - 15 + 2}{2} \] \[ E(3, 1) = \frac{27 - 15 + 2}{2} \] \[ E(3,1) = \frac{14}{2} = 7  \] Quindi, il valore finale, per $ x = 3 $  e $ y = 1 $ è 7 $$ E(3, 1) = 7 $$

E così via.