Esercizio sulle equazioni differenziali 21
Devo risolvere l'equazione differenziale
$$ y''-y = 2x \sin(x) $$
E' un'equazione differenziale del 2° ordine non omogenea.
Il termine noto è nella forma Q(x)sin(βx)e mi permette di usare il metodo della somiglianza.
Quindi, per risolvere questa equazione suddivido l'analisi in tre passi
1] Calcolo la soluzione omogenea
Calcolo la soluzione generale dell'equazione generale omogenea associata.
$$ y''-y = 2x \sin(x) $$
Utilizzo una variabile ausiliaria per scrivere l'equazione caratteristica
$$ t^2-1= 0 $$
L'equazione caratteristica ha due soluzioni reali distinte t1=-1 e t2=1
$$ t^2 = 1 $$
$$ \sqrt{t^2} = \sqrt{1} $$
$$ t = \begin{cases} t_1 = -1 \\ \\ t_2 = 1 \end{cases}$$
Essendo due soluzioni distinte la soluzione dell'equazione differenziale omogenea è
$$ y_o = c_1 e^{\lambda_1 x} + c_2e^{\lambda_2 x} $$
Dove λ1=t1=-1 e λ2=t2=1
$$ y_o = c_1 e^{-1 \cdot x} + c_2e^{1 \cdot x} $$
Quindi, la soluzione omogenea è
$$ y_o = c_1 e^{-x} + c_2e^{x} $$
Una volta calcolata la soluzione omogenea devo calcolare la soluzione particolare.
2] Calcolo la soluzione particolare
Per calcolare una soluzione particolare dell'equazione differenziale completa utilizzo il metodo della somiglianza.
Il termine noto è nella forma Q(x)sin(βx) con Q(x)=2x e β=1 .
Verifico se iβ è una soluzione dell'equazione caratteristica
$$ t^2 - 1 = 0 $$
$$ (iβ)^2 - 1 = 0 $$
$$ (i \cdot 1)^2 - 1 = 0 $$
$$ i^2 - 1 = 0 $$
Sapendo che il quadrato dell'unità immaginaria è i2=-1
$$ -1 - 1 = 0 $$
$$ -2 = 0 $$
Il termine iβ non è una soluzione dell'equazione caratteristica
Quindi, la soluzione particolare ha una forma simile alla seguente
$$ y_p = R(x) \cos( \beta x) + S(x) \sin( \beta x) $$
Sapendo che β=1
$$ y_p = R(x) \cos( x) + S(x) \sin( x) $$
Il polinomio P(x)=2x è di primo grado, quindi R(x)=A+Bx e S(x)=C+Dx sono polinomi di primo grado
$$ y_p = (A+Bx) \cos( x) + (C+Dx) \sin( x) $$
I termini A, B, C, D sono costanti reali ancora da determinare.
Calcolo la derivata prima della soluzione particolare.
$$ y'_p = D_x [ (A+Bx) \cos( x) + (C+Dx) \sin( x) ] $$
$$ y'_p = D_x [ (A+Bx) \cos( x) ] + D_x [(C+Dx) \sin( x) ] $$
$$ y'_p = B \cos(x) - (A+Bx) \sin( x) + D \sin(x) + (C+Dx) \cos( x) $$
Calcolo la derivata seconda della soluzione particolare.
$$ y''_p = D_x [ B \cos(x) - (A+Bx) \sin( x) + D \sin(x) + (C+Dx) \cos( x) ] $$
$$ y''_p = D_x [ B \cos(x) ] - D_x [ (A+Bx) \sin( x) ] + D_x [ D \sin(x) ] + D_x [ (C+Dx) \cos( x) ] $$
$$ y''_p = -2B \sin(x) + 2D \cos(x) - A \cos(x) - Bx \cos(x) - C \sin(x) - Dx \sin(x)$$
$$ y''_p = -2B \sin(x) + 2D \cos(x) - (A+Bx) \cos(x) - (C+Dx) \sin(x) $$
A questo punto sostituisco le soluzioni yp, y'p, y''p alle funzioni y,y',y'' nell'equazione differenziale non omogenea
$$ y''-y = 2x \sin(x) $$
$$ y_p''-y_p = 2x \sin(x) $$
Sapendo che y''=-2Bsin(x)+2Dcos(x)-(A+Bx)cos(x)-(C+Dx)sin(x)
$$ [ -2B \sin(x) + 2D \cos(x) - (A+Bx) \cos(x) - (C+Dx) \sin(x) ] -y = 2x \sin(x) $$
Nell'equazione non c'è y'p, pertanto tralascio questa sostituzione.
Sapendo che yp=(A+Bx)cos( x)+(C+Dx)sin( x)
$$ [ -2B \sin(x) + 2D \cos(x) - (A+Bx) \cos(x) - (C+Dx) \sin(x) ] - [ (A+Bx) \cos( x) + (C+Dx) \sin( x) ] = 2x \sin(x) $$
Metto in evidenza sin(x) e cos(x)
$$ -2B \sin(x) + 2D \cos(x) - (A+Bx) \cos(x) - (C+Dx) \sin(x) - (A+Bx) \cos( x) - (C+Dx) \sin( x) = 2x \sin(x) $$
$$ \sin(x) \cdot [-2B - (C+Dx) - (C+Dx) ] + \cos(x) \cdot [2D - (A+Bx)- (A+Bx) ] = 2x \sin(x) $$
$$ \sin(x) \cdot [-2B - 2C-2Dx ] + \cos(x) \cdot [2D - 2A-2Bx) ] = 2x \sin(x) $$
A questo punto eguaglio i coefficienti di sin(x) e cos(x)
$$ \begin{cases} -2B - 2C-2Dx = 2x \\ \\ 2D - 2A-2Bx = 0 \end{cases} $$
Nota, Il coefficiente di sin(x) è -2B - 2C-2Dx nel membro di sinistra e 2x nel membro di destra. Il coefficiente di cos(x) è 2D - 2A-2Bx nel membro di sinistra e 0 nel membro di destra.
$$ \begin{cases} -2B - 2C-2Dx = 2x \\ \\ 2D - 2A-2Bx = 0 \end{cases} $$
Queste due equazioni devono essere soddisfatte per ogni valore dell'incognita x.
Pertanto, applico il principio di identità dei polinomi ed eguaglio i coefficienti in entrambi i membri.
$$ \begin{cases} -2D = 2 \\ -2B-2C=0 \\ -2B = 0 \\ 2D-2A=0 \end{cases} $$
Nota. Nella prima equazione il coefficiente della x nel membro di sinistra (-2D) deve essere uguale al coefficiente della x nel lato destro (2) ossia -2D=2. I coefficienti -2B-2C sul membro di sinistra non hanno corrispettivi sul membro di destra, quindi -2B-2C=0. Nella seconda equazione il coefficiente della x nel membro di sinistra (-2B) non ha corrispettivi sul lato destro, quindi -2B=0. Anche gli altri termini 2D-2A del membro di sinistra non hanno corrispettivi sul lato destro. Quindi 2D-2A=0.
In questa forma il sistema posso calcolarlo facilmente. Si capisce subito che D=-1 e B=0
$$ \begin{cases} D = - \frac{2}{2} =1 \\ -2B-2C=0 \\ B = 0 \\ 2D-2A=0 \vdots \end{cases} $$
Se B=0 allora anche C=0
$$ \begin{cases} D = - =1 \\ -2(0)-2C=0 \\ B = 0 \\ 2D-2A=0 \vdots \end{cases} $$
$$ \begin{cases} D = - =1 \\ C=0 \\ B = 0 \\ 2D-2A=0 \vdots \end{cases} $$
Se D=-1 allora anche A è uguale a -1
$$ \begin{cases} D = - =1 \\ C=0 \\ B = 0 \\ 2(-1)-2A=0 \vdots \end{cases} $$
$$ \begin{cases} D = - =1 \\ C=0 \\ B = 0 \\ A= - {2}{2} = -1 \vdots \end{cases} $$
$$ \begin{cases} D = - =1 \\ C=0 \\ B = 0 \\ A= -1 \vdots \end{cases} $$
Ho trovato i valori dei coefficienti fissi A=-1, B=0, C=0, D=-1
Li sostituisco nella soluzione particolare
$$ y_p = (A+Bx) \cos( x) + (C+Dx) \sin( x) $$
$$ y_p = (-1+0x) \cos( x) + (0+(-1)x) \sin( x) $$
Pertanto, la soluzione particolare dell'equazione differenziale è
$$ y_p = - \cos( x) -x \sin( x) $$
3] Calcolo la soluzione generale
La soluzione generale dell'equazione differenziale è uguale alla somma della soluzione omogenea (yo) e della soluzione particolare (yp)
$$ y = y_o + y_p $$
Sapendo che yo = c1eλ1x + c2eλ2x
$$ y_o = c_1 e^{-x} + c_2e^{x} + y_p $$
Sapendo che yp=-cos(x)-x·sin(x)
$$ y_o = c_1 e^{-x} + c_2e^{x} - \cos(x) - x \sin(x) $$
Quest'ultima è la soluzione generale dell'equazione differenziale iniziale.
Dove c1 e c2 sono due costanti reali qualsiasi.
E così via.
