Esercizio sulle equazioni differenziali 19

Devo risolvere l'equazione differenziale

$$ y''-2y'+y = 6xe^x $$

Si tratta di un'equazione differenziale del secondo ordine non omogenea ossia completa.

Per risolverla devo sommare la soluzione generale dell'omogenea (yo) con una soluzione particolare dell'equazione differenziale completa (yp).

$$ y = y_o + y_p $$

Pertanto, suddivido questo esercizio in tre parti

1] Calcolo la soluzione dell'equazione differenziale omogenea

L'equazione differenziale omogenea associata dell'equazione differenziale completa è

$$ y''-2y'+y = 0 $$

Utilizzo la variabile ausiliaria t per studiare l'equazione caratteristica

$$ t^2 - 2t + 1 = 0 $$

Poi studio le soluzioni dell'equazione caratteristica

$$ t = \frac{ 2 \pm \sqrt{4-4(1)(1)} }{2} $$

$$ t = \frac{ 2 \pm \sqrt{0} }{2} = \begin{cases} t_1 = \frac{2-0}{2} =1 \\ \\ t_2 = \frac{2+0}{2} =1 \end{cases} $$

L'equazione caratteristica ha due soluzioni reali coincidenti t1=t2=1

Pertanto, la soluzione generale dell'omogenea è

$$ y_o = c_1 e^x + x \cdot c_2 e^x $$

A questo punto devo calcolare la soluzione particolare.

2] Calcolo la soluzione particolare

Per calcolare la soluzione particolare dell'equazione differenziale completa utilizzo il metodo della somiglianza.

$$ y''-2y'+y = 6xe^x $$

Il termine noto dell'equazione differenziale 6xex è del tipo P(x)eλx dove P(x)=6x e λ=1

Quindi, la soluzione particolare è della stessa forma

Poiché y=λ=1 è una soluzione dell'equazione differenziale omogenea y''-2y'+1=0, la soluzione particolare è in questa forma

$$ y_p = x^m \cdot e^{\lambda x} \cdot Q(x) $$

Dove m è la molteplicità, Q(x) è un polinomio da calcolare e λ=1

$$ y_p = x^m \cdot e^{1 \cdot x} \cdot Q(x) $$

$$ y_p = x^m \cdot e^{x} \cdot Q(x) $$

Il parametro m è la molteplicità di λ=1 come soluzione dell'equazione omogenea y''-2y'+1=0

La molteplicità è m=2

$$ y_p = x^2 \cdot e^{x} \cdot Q(x) $$

Nota. La molteplicità è un numero intero m tale che un polinomio può essere riscritto come $$ P(x) = (x-λ)^n R(x) $$ Sapendo che λ=1 e P(x) = y''-2y+1 $$ y^2-2y+1 = (x-1)^n R(x) $$ Utilizzo la regola di Ruffini per riscrivere il polinomio y''-2y+1 come (y-1)R(x) e calcolare il polinomio R(x). $$ \begin{array}{c|lc|cr} & 1 & -2 & 1 \\ 1 & & 1 & -1 \\ \hline & 1 & -1 & 0 \end{array} $$ Quindi, il polinomio equivalente ha una molteplicita n=1 e R(x)=y-1 $$ y^2-2y+1 = (y-1) \cdot (y-1) $$ A sua volta anche quest'ultimo polinomio posso scriverlo come $$ y^2-2y+1 = (y-1)^2 $$ Dove R(x)=1 e la molteplicità di (y-1) è n=2.

Il polinomio Q(x) è A+Bx poiché il polinomio P(x)=6x è di primo grado.

$$ y_p = x^2 \cdot e^{x} \cdot (A+Bx) $$

Quest'ultima è la soluzione particolare ma i termini A e B sono ancora da calcolare.

Calcolo la derivata prima della soluzione particolare

$$ y_p' = D_x[ x^2 \cdot e^{x} \cdot (A+Bx) ] $$

$$ y_p' = D_x[ x^2] \cdot e^{x} \cdot (A+Bx) + x^2 \cdot D[e^{x}] \cdot (A+Bx) + x^2 \cdot e^{x} \cdot D_x[A+Bx]$$

$$ y_p' = 2x e^{x} (A+Bx) + x^2 e^{x} (A+Bx) + x^2 e^{x} B $$

Calcolo la derivata seconda della soluzione particolare

$$ y_p'' = D_x[ 2x e^{x} (A+Bx) + x^2 e^{x} (A+Bx) + x^2 e^{x} B) ] $$

$$ y_p'' = D_x[ 2x e^{x} (A+Bx)] +D_x[ x^2 e^{x} (A+Bx) ] + D_x[ x^2 e^{x} B) ] $$

$$ y_p'' = 2 e^{x} (A+Bx) + 2x e^{x} (A+Bx) + 2x e^{x} B + \\ \ \ \ + 2xe^{x} (A+Bx) + x^2 e^{x} (A+Bx) + x^2 e^{x} B + \\ \ \ \ + 2xe^{x} B + x^2e^{x} B $$

$$ y_p'' = e^{x} \cdot [ 2(A+Bx) + 2x (A+Bx) + 2x B + 2 x (A+Bx) + x^2 (A+Bx) + x^2 B + 2x B + x^2 B ] $$

$$ y_p'' = e^{x} \cdot [ 2(A+Bx) + 4x (A+Bx) + 4 x B + x^2 (A+Bx) + 2 x^2 B ] $$

$$ y_p'' = e^{x} \cdot [ 2A+2Bx + 4x (A+Bx) + 4 x B + x^2 (A+Bx) + 2 x^2 B ] $$

$$ y_p'' = e^{x} \cdot [ 2A + 4x (A+Bx) + 6 x B + x^2 (A+Bx) + 2 x^2 B ] $$

Ora sostituisco yp, yp', yp'' al posto di y, y', y'' nell'equazione differenziale completa

$$ y''-2y'+y = 6xe^x $$

$$ y_p''-2y_p+y_p = 6xe^x $$

Sapendo che yp''=ex[2A+4x(A+Bx)+6xB+x2(A+Bx)+2x2B ]

$$ \{ e^{x} \cdot [ 2A + 4x (A+Bx) + 6 x B + x^2 (A+Bx) + 2 x^2 B ] \}- 2 y_p+y_p = 6xe^x $$

Sapendo che yp'=2x ex(A+Bx)+x2ex(A+Bx)+x2exB

$$ \{ e^{x} \cdot [ 2A + 4x (A+Bx) + 6 x B + x^2 (A+Bx) + 2 x^2 B ] \} + \\ - 2 \{ 2x e^{x} (A+Bx) + x^2 e^{x} (A+Bx) + x^2 e^{x} B \} +y_p = 6xe^x $$

Sapendo che yp=x2ex(A+Bx)

$$ \{ e^{x} \cdot [ 2A + 4x (A+Bx) + 6 x B + x^2 (A+Bx) + 2 x^2 B ] \} + \\ - 2 \{ 2x e^{x} (A+Bx) + x^2 e^{x} (A+Bx) + x^2 e^{x} B \} + \{ x^2 \cdot e^{x} \cdot (A+Bx) \} = 6xe^x $$

Svolgo i calcoli algebrici e semplifico

$$ e^{x} \cdot [ 2A + 4x (A+Bx) + 6 x B + x^2 (A+Bx) + 2 x^2 B ] + \\ -4x e^{x} (A+Bx) -2 x^2 e^{x} (A+Bx) -2 x^2 e^{x} B + x^2 \cdot e^{x} \cdot (A+Bx) = 6xe^x $$

Metto in evidenza ex

$$ e^{x} \cdot [ 2A + 4x (A+Bx) + 6 x B + x^2 (A+Bx) + 2 x^2 B -4x(A+Bx) -2 x^2(A+Bx) \\ -2 x^2B + x^2 (A+Bx) \ ] = 6xe^x $$

Diversi termini si annullano reciprocamente

$$ e^{x} \cdot [ 2A + 6 x B \ ] = 6xe^x $$

Pertanto, ciò che resta è l'equazione

$$ 2Ae^x + 6 x Be^x = 6xe^x $$

Eguaglio i coefficienti tra i due membri dell'equazione

$$ \begin{cases} 2A = 0 \\ \\ B = 1 \end{cases} $$

Spiegazione. Il termine ex è presente con coefficiente 2A nel membro di sinistra dell'equazione 2Aex+6xBex=6xex ma non è presente nel membro destra (coefficiente pari a zero). Quindi 2A=0. Il termine xex è presente con coefficiente B nel membro di sinistra e con coefficiente 1 nel membro di destra dell'equazione 2Aex+6xBex=6xex. Quindi B=1.

Ho così trovato i termini A e B mancanti

$$ \begin{cases} A = 0 \\ \\ B = 1 \end{cases} $$

Sapendo che A=0 e B=1 la soluzione particolare dell'equazione differenziale completa è

$$ y_p = x^2 \cdot e^{x} \cdot (A+Bx) $$

$$ y_p = x^2 \cdot e^{x} \cdot (0+1 \cdot x) $$

$$ y_p = x^2 \cdot e^{x} \cdot x $$

$$ y_p = x^3 \cdot e^{x} $$

A questo punto posso calcolare la soluzione generale dell'equazione differenziale.

3] Calcolo la soluzione generale dell'equazione differenziale

La soluzione generale dell'equazione differenziale del 2° ordine non omogenea è uguale alla somma della soluzione generale dell'omogenea (yo) con la soluzione particolare dell'equazione differenziale completa (yp).

$$ y = y_o + y_p $$

Sapendo che la soluzione dell'omogenea è yo=c1ex+xc2ex

$$ y = ( c_1 e^x + x \cdot c_2 e^x ) + y_p $$

Sapendo che la soluzione particolare è yp=x3ex

$$ y = ( c_1 e^x + x \cdot c_2 e^x ) + x^3e^x $$

Pertanto, la soluzione generale dell'equazione differenziale iniziale è

$$ y = c_1 e^x + x \cdot c_2 e^x + x^3e^x $$

E così via.

 


 

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