Esercizio sulle equazioni differenziali 17
Devo risolvere l'equazione differenziale del 2° ordine non omogenea
$$ y''+y = x^2 $$
E' un'equazione differenziale lineare completa.
L'equazione differenziale omogenea associata è
$$ ay''+ by' + cy = 0 $$
Con a=1, b=0 e c=1
$$ y''+ y = 0 $$
Studio le eventuali soluzioni dell'equazione caratteristica usando una variabile ausiliaria t
$$ t^2 + 1 = 0 $$
Il determinante dell'equazione caratteristica è negativo.
$$ \Delta = b^2 - 4ac = 0^2 - 4(1)(1) = -4 $$
L'equazione caratteristica ha due soluzioni complesse
$$ t = \frac{0 \pm \sqrt{-4}}{2} $$
$$ t = \frac{\pm \sqrt{4i^2}}{2} $$
$$ t = \frac{\pm i \sqrt{4}}{2} $$
$$ t = \frac{\pm i \cdot 2}{2} = \begin{cases} 0 + i \\ \\ 0-i \end{cases} $$
Dove α=0 e β=1
Quindi, anche la soluzione generale dell'omogenea è una soluzione complessa
$$ y_o = c_1 e^{ \alpha x} \cos(\beta x) +c_2e^{\alpha x} \sin{\beta x} $$
$$ y_o = c_1 e^{ 0 \cdot x} \cos(1 \cdot x) +c_2e^{0 \cdot x} \sin{1 \cdot x} $$
$$ y_o = c_1 \cos(x) +c_2 \sin{x} $$
A questo punto cerco una soluzione particolare yp dell'equazione differenziale.
Per farlo utilizzo il metodo della somiglianza.
$$ ay''+by'+cy = f(x) $$
In questo caso f(x)=x^2, a=1, b=1, c=0
Il termine noto è un polinomio P2(x)=x2 di secondo grado.
Quindi, la soluzione particolare deve avere una struttura del tipo
$$ y_p = x(A + B x) + C $$
$$ y_p = B x^2 + Ax + C $$
Calcolo la derivata prima yp' e la derivata seconda yp''
$$ y_p' = A + 2Bx $$
$$ y_p'' = 2B $$
Poi sostituisco yp, yp', yp'' alle funzioni y, y', y'' dell'equazione differenziale non omogenea
$$ y''+y = x^2 $$
Sostituisco y con yp=Ax+Bx2
$$ y'' + (Ax+Bx^2+C) = x^2 $$
Non essendoci y' sostituisco y'' con yp''=2B
$$ 2B + (Ax+Bx^2+C) = x^2 $$
Metto in evidenza le potenze dello stesso grado.
$$ 2B + Ax + B x^2 +C = x^2 $$
$$ x^2 ( B ) +x ( A) + (2B+C) = x^2 $$
Eguaglio i coefficienti delle potenze dello stesso ordine e ottengo A=0 , B=1 e 2B+C=0
$$ \begin{cases} A = 0 \\ \\ B = 1 \\ \\ 2B+C = 0 \end{cases} $$
Spiegazione. La prima equazione A=0 si spiega perché nell'equazione 2B+Ax+Bx2+C=x2 i coefficienti di x sono A nel membro di sinistra e 0 nel membro destra. $$ A = 0 $$ La seconda equazione B=1 si spiega perché nell'equazione 2B+Ax+Bx2+C=x2 i coefficienti di x2 sono B nel membro di sinistra e 1 nel membro di destra. $$ B = 1 $$ La terza equazione 2B+C=0 si spiega perché nell'equazione 2B+Ax+Bx2+C=x2 i coefficienti di x^0 sono 2B+C nel membro di sinistra e 0 nel membro di destra. $$ 2B+C = 0 $$
Svolgo i calcoli algebrici per risolvere il sistema di equazioni
$$ \begin{cases} A = 0 \\ \\ B = 1 \\ \\ 2B+C = 0 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} A = 0 \\ \\ B = 1 \\ \\ 2(1)+C = 0 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} A = 0 \\ \\ B = 1 \\ \\ C = -2 \end{cases} $$
Una volta noti i valori dei coefficienti A=0, B=1, C=-2 li sostituisco nella soluzione particolare yp
$$ y_p = B x^2 + Ax + C $$
$$ y_p = 1 x^2 + (0)x + (-2) $$
Il risultato è la soluzione particolare dell'equazione differenziale.
$$ y_p = x^2 -2 $$
La soluzione generale dell'equazione differenziale è uguale alla somma della soluzione omogenea (yo) e della soluzione particolare (yp).
$$ y = y_o + y_p $$
$$ y = [ c_1 \cos(x) +c_2 \sin{x} ] + ( x^2 - 2 ) $$
Il risultato finale è la soluzione generale dell'equazione differenziale iniziale
$$ y = c_1 \cos(x) +c_2 \sin{x} + x^2 - 2 $$
Soluzione alternativa
In alternativa l'equazione differenziale
$$ y''+y = x^2 $$
può essere risolta calcolando la soluzione particolare con il metodo del Wronskiano
La soluzione omogenea è
$$ y_o = c_1 \cos(x) +c_2 \sin{x} $$
Nota. Evito di ripetere i calcoli per calcolare la soluzione omogenea. Per vedere i calcoli rimando al primo svolgimento dell'esercizio all'inizio di questa pagina.
Secondo il metodo del Wronskiano la soluzione particolare è
$$ y_p = c_1(x) v_1(x) - c_2(x) v_2(x) $$
In questo caso v1(x)=cos(x) e v2(x)=sin(x)
$$ y_p = c_1(x) \cos(x) - c_2(x) \sin(x) $$
Dove c1(x) e c2(x) sono
$$ \begin{cases} c_1(x) = - \int \frac{x^2 \sin(x)}{W(x)} \\ \\ c_2(x) = - \int \frac{x^2 \cos(x)}{W(x)} \end{cases} $$
Calcolo il Wronskiano
$$ W = v_1(x) v'_2(x) - v'_1(x) v_2(x) $$
$$ W = \cos(x) D_x[ \sin(x) ] - D_x[ \cos(x) ] \sin(x) $$
$$ W = \cos(x) \cos(x) - [-\sin(x)] \sin(x) $$
$$ W = \cos^2(x) + \sin^2(x) $$
Per la prima relazione fondamentale della trigonometria cos2+sin2=1
$$ W = 1 $$
Sostituisco il Wronskiano in c1(x) e c2(x)
$$ \begin{cases} c_1(x) = - \int \frac{x^2 \sin(x)}{W(x)} \\ \\ c_2(x) = - \int \frac{x^2 \cos(x)}{W(x)} \end{cases} $$
$$ \begin{cases} c_1(x) = - \int \frac{x^2 \sin(x)}{1} \\ \\ c_2(x) = - \int \frac{x^2 \cos(x)}{1} \end{cases} $$
$$ \begin{cases} c_1(x) = - \int x^2 \sin(x) \\ \\ c_2(x) = - \int x^2 \cos(x) \end{cases} $$
A questo punto calcolo gli integrali
$$ \begin{cases} c_1(x) = x^2 \cos(x) -2x \sin(x) -2 \cos(x) \\ \\ c_2(x) = -x^2 \sin(x) -2x \cos(x) + 2 \sin(x) \end{cases} $$
Sostituisco c1(x) e c2(x) nella soluzione particolare
$$ y_p = c_1(x) \cos(x) - c_2(x) \sin(x) $$
$$ y_p = [ x^2 \cos(x) -2x \sin(x) -2 \cos(x) ] \cos(x) - [ -x^2 \sin(x) -2x \cos(x) + 2 \sin(x) ] \sin(x) $$
$$ y_p = x^2 \cos^2(x) -2x \sin(x)\cos(x) -2 \cos^2(x) + x^2 \sin^2(x) +2x \cos(x) \sin(x) - 2 \sin^2(x) $$
$$ y_p = x^2 [ \cos^2(x) + \sin^2(x) ] -2 [ \cos^2(x) + \sin^2(x) ] $$
Per la prima relazione fondamentale della trigonometria cos2+sin2=1
$$ y_p = x^2 \cdot 1 -2 \cdot 1 $$
Pertanto la soluzione particolare è
$$ y_p = x^2 -2 $$
A questo punto sommo la soluzione omogenea e la soluzione particolare
$$ y = y_o + y_p $$
$$ y = [ c_1 \cos(x) +c_2 \sin{x} ] + ( x^2 - 2 ) $$
Il risultato finale è la soluzione generale dell'equazione differenziale iniziale
$$ y = c_1 \cos(x) +c_2 \sin{x} + x^2 - 2 $$
E così via
