Esercizio sulle equazioni differenziali 30
Devo studiare l'equazione differenziale del primo ordine
$$ \begin{cases} y'=y^2 \cdot t^3 \\ \\ y(0)=0 \end{cases} $$
Si tratta di un problema di Cauchy.
L'equazione differenziale è del tipo a variabili separabili.
Scrivo la derivata prima y' nella notazione dy/dt
$$ \frac{dy}{dt} = y^2 \cdot t^3 $$
Separo le variabili
$$ \frac{dy}{y^2} = t^3 \ dt $$
Integro entrambi i membri per le rispettive variabili
$$ \int \frac{dy}{y^2} \ dy = \int t^3 \ dt $$
$$ - \frac{1}{y} + c_1 = \frac{1}{4} t^4 +c_2 $$
Utilizzo un unico termine per la costante c=c2-c1
$$ - \frac{1}{y} = \frac{1}{4} t^4 +c $$
$$ y = \frac{-4}{t^4 +c} $$
A questo punto calcolo la costante a partire dalla costante iniziale y(0)=0 dove t=0
$$ y(0)=0 $$
$$ \frac{-4}{0 +c} = 0 $$
$$ \frac{-4}{c} = 0 $$
La costante non è calcolabile, quindi la soluzione generale non è la soluzione del problema di Cauchy.
Tuttavia per il teorema di esistenza deve esistere una soluzione.
L'unica soluzione dell'equazione differenziale è la soluzione banale ossia y(t)=0
$$ y(t) = 0 $$
Nota. Se y=0 la condizione iniziale è soddisfatta $$ y(0)= 0 $$ $$ y'=y^2 \cdot t^3 $$ $$ y'=0 \cdot t^3 $$ $$ y'=0 $$ La derivata di y=0 è sempre zero, quindi y'=0 $$ 0=0 $$ L'identità è soddisfatta.
In questo caso l'intervallo massimale di esistenza è l'intero insieme dei numeri reali.
E così via.
