Esercizio equazione differenziale 20
Devo risolvere l'equazione differenziale
$$ y' + 2xy = 0 $$
Questa equazione è del tipo y'=a(x)b(y) con a(x)=-2x e b(y)=y
$$ y' = - 2xy $$
Riscrivo la derivata nella notazione dy/dx
$$ \frac{dy}{dx} = - 2xy $$
Poi separo le variabili tra i due membri dell'equazione
$$ \frac{1}{y} \ dy = - 2x \ dx $$
Integro entrambi i membri per le rispettive variabili
$$ \int \frac{1}{y} \ dy = \int - 2x \ dx $$
$$ \int \frac{1}{y} \ dy = -2 \int x \ dx $$
L'integrale di x è x2/2+c1
$$ \int \frac{1}{y} \ dy = -2 ( \frac{x^2}{2} + c_1 ) $$
$$ \int \frac{1}{y} \ dy = - x^2 -2c_1 $$
Il termine -2c1 è comunque una costante reale arbitraria che può assumere qualsiasi valore.
Per semplificità lo sostituisco con +c2
$$ \int \frac{1}{y} \ dy = - x^2 + c_2 $$
L'integrale di 1/y è log(y)
$$ \log(y) = - x^2 + c_2 $$
Ricavo la y applicando l'esponenziale a entrambi i membri
$$ e^{\log(y) } = e^{- x^2 + c_2} $$
$$ y = e^{- x^2}e^c_2 $$
Essendo ec2 una costante, la sostituisco per semplicità con il termine c
$$ y = c \cdot e^{- x^2} $$
Quest'ultima è la soluzione generale dell'equazione differenziale.
La soluzione costante. Oltre alla soluzione generale c'è anche una soluzione costante. Quando y=0 anche y'=0. $$ y' + 2xy = 0 $$ $$ (0) + 2x(0) = 0 $$ $$ 0 = 0 $$