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Esercizio equazione differenziale 18

Devo risolvere questa equazione differenziale del primo ordine

2xyy=x2+2y2

Esplicito la derivata prima y' dividendo entrambi i membri dell'equazione per 2xy

2xyy2xy=x2+2y22xy

y=x22xy+2y22xy

y=x2y+yx

Si tratta di un'equazione differenziale omogenea del tipo y'=f(y/x)

Per risolverla utilizzo una variabile ausiliaria t=y/x

t=yx

Da cui esplicito la y

y=tx

Derivo entrambi i membri dell'equazione per le rispettive variabili y e x

D[y]=D[tx]

y=tx+t

Quindi sostituisco y'=t'x+t nell'equazione differenziale

y=x2y+yx

tx+t=x2y+yx

Poi sostituisco t=y/x nell'equazione differenziale

tx+t=12t+t

Riscrivo t' nella notazione dt/dx

dtdxx+t=12t+t

Semplifico eliminando +t da entrambi i membri dell'equazione

dtdxx=12t

Ora posso risolverla come un'equazione differenziale a variabili separabili.

Separo le variabili t e x nei due membri dell'equazione.

tdt=12xdx

Poi integro entrambi i membri

tdt=12xdx

tdt=121xdx

L'integrale a destra si risolve con la primitiva log(x)+c

tdt=12log(x)+c

tdt=log(x)2+c

L'integrale a sinistra si risolve con la primitiva t2/2

t22=log(x)2+c

Per la proprietà invariantiva moltiplico entrambi i membri dell'equazione per due.

2t22=2(log(x)2+c)

t2=log(x)+c

Nota. La costante c continuo a scriverla semplicemente c. Scrivere 2c o c è la stessa cosa, poiché la costante può assumere comunque qualsiasi valore reale positivo o negativo.

Ora sostituisco t=y/x nell'equazione

(yx)2=log(x)+c

y2x2=log(x)+c

Esplicito la variabile y

y2=x2(log(x)+c)

y2=x2log(x)+x2c

Calcolo la radice quadrata di entrambi i membri

y2=x2log(x)+x2c

y=x2log(x)+x2c

Il risultato è la soluzione generale dell'equazione differenziale.

E così via

 


 

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