Esercizio equazione differenziale 18
Devo risolvere questa equazione differenziale del primo ordine
2xyy′=x2+2y2
Esplicito la derivata prima y' dividendo entrambi i membri dell'equazione per 2xy
2xyy′2xy=x2+2y22xy
y′=x22xy+2y22xy
y′=x2y+yx
Si tratta di un'equazione differenziale omogenea del tipo y'=f(y/x)
Per risolverla utilizzo una variabile ausiliaria t=y/x
t=yx
Da cui esplicito la y
y=t⋅x
Derivo entrambi i membri dell'equazione per le rispettive variabili y e x
D[y]=D[tx]
y′=t′x+t
Quindi sostituisco y'=t'x+t nell'equazione differenziale
y′=x2y+yx
t′x+t=x2y+yx
Poi sostituisco t=y/x nell'equazione differenziale
t′x+t=12t+t
Riscrivo t' nella notazione dt/dx
dtdx⋅x+t=12t+t
Semplifico eliminando +t da entrambi i membri dell'equazione
dtdx⋅x=12t
Ora posso risolverla come un'equazione differenziale a variabili separabili.
Separo le variabili t e x nei due membri dell'equazione.
t⋅dt=12x⋅dx
Poi integro entrambi i membri
∫t⋅dt=∫12x⋅dx
∫t⋅dt=12∫1x⋅dx
L'integrale a destra si risolve con la primitiva log(x)+c
∫t⋅dt=12⋅log(x)+c
∫t⋅dt=log(x)2+c
L'integrale a sinistra si risolve con la primitiva t2/2
t22=log(x)2+c
Per la proprietà invariantiva moltiplico entrambi i membri dell'equazione per due.
2⋅t22=2⋅(log(x)2+c)
t2=log(x)+c
Nota. La costante c continuo a scriverla semplicemente c. Scrivere 2c o c è la stessa cosa, poiché la costante può assumere comunque qualsiasi valore reale positivo o negativo.
Ora sostituisco t=y/x nell'equazione
(yx)2=log(x)+c
y2x2=log(x)+c
Esplicito la variabile y
y2=x2⋅(log(x)+c)
y2=x2⋅log(x)+x2⋅c
Calcolo la radice quadrata di entrambi i membri
√y2=√x2⋅log(x)+x2⋅c
y=√x2⋅log(x)+x2⋅c
Il risultato è la soluzione generale dell'equazione differenziale.
E così via