Esercizio equazione differenziale 18
Devo risolvere questa equazione differenziale del primo ordine
$$ 2xyy'=x^2 + 2y^2 $$
Esplicito la derivata prima y' dividendo entrambi i membri dell'equazione per 2xy
$$ \frac{ 2xyy'}{2xy}=\frac{x^2 + 2y^2}{2xy} $$
$$ y' =\frac{x^2}{2xy} + \frac{2y^2}{2xy} $$
$$ y' =\frac{x}{2y} + \frac{y}{x} $$
Si tratta di un'equazione differenziale omogenea del tipo y'=f(y/x)
Per risolverla utilizzo una variabile ausiliaria t=y/x
$$ t= \frac{y}{x} $$
Da cui esplicito la y
$$ y= t \cdot x $$
Derivo entrambi i membri dell'equazione per le rispettive variabili y e x
$$ D[y] = D[tx] $$
$$ y' = t'x+t $$
Quindi sostituisco y'=t'x+t nell'equazione differenziale
$$ y' =\frac{x}{2y} + \frac{y}{x} $$
$$ t'x+t =\frac{x}{2y} + \frac{y}{x} $$
Poi sostituisco t=y/x nell'equazione differenziale
$$ t'x+t =\frac{1}{2t} + t $$
Riscrivo t' nella notazione dt/dx
$$ \frac{dt}{dx} \cdot x+t =\frac{1}{2t} + t $$
Semplifico eliminando +t da entrambi i membri dell'equazione
$$ \frac{dt}{dx} \cdot x =\frac{1}{2t} $$
Ora posso risolverla come un'equazione differenziale a variabili separabili.
Separo le variabili t e x nei due membri dell'equazione.
$$ t \cdot dt =\frac{1}{2x} \cdot dx $$
Poi integro entrambi i membri
$$ \int t \cdot dt = \int \frac{1}{2x} \cdot dx $$
$$ \int t \cdot dt = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x} \cdot dx $$
L'integrale a destra si risolve con la primitiva log(x)+c
$$ \int t \cdot dt = \frac{1}{2} \cdot \log(x) + c $$
$$ \int t \cdot dt = \frac{\log(x)}{2} + c $$
L'integrale a sinistra si risolve con la primitiva t2/2
$$ \frac{t^2}{2} = \frac{\log(x)}{2} + c $$
Per la proprietà invariantiva moltiplico entrambi i membri dell'equazione per due.
$$ 2 \cdot \frac{t^2}{2} = 2 \cdot ( \frac{\log(x)}{2} + c ) $$
$$ t^2 = \log(x) + c $$
Nota. La costante c continuo a scriverla semplicemente c. Scrivere 2c o c è la stessa cosa, poiché la costante può assumere comunque qualsiasi valore reale positivo o negativo.
Ora sostituisco t=y/x nell'equazione
$$ (\frac{y}{x})^2 = \log(x) + c $$
$$ \frac{y^2}{x^2} = \log(x) + c $$
Esplicito la variabile y
$$ y^2 = x^2 \cdot ( \log(x) + c ) $$
$$ y^2 = x^2 \cdot \log(x) + x^2 \cdot c $$
Calcolo la radice quadrata di entrambi i membri
$$ \sqrt{y^2} = \sqrt{x^2 \cdot \log(x) + x^2 \cdot c} $$
$$ y = \sqrt{x^2 \cdot \log(x) + x^2 \cdot c} $$
Il risultato è la soluzione generale dell'equazione differenziale.
E così via