Esercizio equazione differenziale 18

Devo risolvere questa equazione differenziale del primo ordine

$$ 2xyy'=x^2 + 2y^2 $$

Esplicito la derivata prima y' dividendo entrambi i membri dell'equazione per 2xy

$$ \frac{ 2xyy'}{2xy}=\frac{x^2 + 2y^2}{2xy} $$

$$ y' =\frac{x^2}{2xy} + \frac{2y^2}{2xy} $$

$$ y' =\frac{x}{2y} + \frac{y}{x} $$

Si tratta di un'equazione differenziale omogenea del tipo y'=f(y/x)

Per risolverla utilizzo una variabile ausiliaria t=y/x

$$ t= \frac{y}{x} $$

Da cui esplicito la y

$$ y= t \cdot x $$

Derivo entrambi i membri dell'equazione per le rispettive variabili y e x

$$ D[y] = D[tx] $$

$$ y' = t'x+t $$

Quindi sostituisco y'=t'x+t nell'equazione differenziale

$$ y' =\frac{x}{2y} + \frac{y}{x} $$

$$ t'x+t =\frac{x}{2y} + \frac{y}{x} $$

Poi sostituisco t=y/x nell'equazione differenziale

$$ t'x+t =\frac{1}{2t} + t $$

Riscrivo t' nella notazione dt/dx

$$ \frac{dt}{dx} \cdot x+t =\frac{1}{2t} + t $$

Semplifico eliminando +t da entrambi i membri dell'equazione

$$ \frac{dt}{dx} \cdot x =\frac{1}{2t} $$

Ora posso risolverla come un'equazione differenziale a variabili separabili.

Separo le variabili t e x nei due membri dell'equazione.

$$ t \cdot dt =\frac{1}{2x} \cdot dx $$

Poi integro entrambi i membri

$$ \int t \cdot dt = \int \frac{1}{2x} \cdot dx $$

$$ \int t \cdot dt = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x} \cdot dx $$

L'integrale a destra si risolve con la primitiva log(x)+c

$$ \int t \cdot dt = \frac{1}{2} \cdot \log(x) + c $$

$$ \int t \cdot dt = \frac{\log(x)}{2} + c $$

L'integrale a sinistra si risolve con la primitiva t2/2

$$ \frac{t^2}{2} = \frac{\log(x)}{2} + c $$

Per la proprietà invariantiva moltiplico entrambi i membri dell'equazione per due.

$$ 2 \cdot \frac{t^2}{2} = 2 \cdot ( \frac{\log(x)}{2} + c ) $$

$$ t^2 = \log(x) + c $$

Nota. La costante c continuo a scriverla semplicemente c. Scrivere 2c o c è la stessa cosa, poiché la costante può assumere comunque qualsiasi valore reale positivo o negativo.

Ora sostituisco t=y/x nell'equazione

$$ (\frac{y}{x})^2 = \log(x) + c $$

$$ \frac{y^2}{x^2} = \log(x) + c $$

Esplicito la variabile y

$$ y^2 = x^2 \cdot ( \log(x) + c ) $$

$$ y^2 = x^2 \cdot \log(x) + x^2 \cdot c $$

Calcolo la radice quadrata di entrambi i membri

$$ \sqrt{y^2} = \sqrt{x^2 \cdot \log(x) + x^2 \cdot c} $$

$$ y = \sqrt{x^2 \cdot \log(x) + x^2 \cdot c} $$

Il risultato è la soluzione generale dell'equazione differenziale.

E così via

 


 

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