Esercizio equazione differenziale 17
Devo risolvere l'equazione differenziale
$$ xy' + 2y = x $$
E' un'equazione differenziale del primo ordine.
Applico la proprietà invariantiva delle equazioni e divido entrambi i membri per la variabile x.
$$ \frac{xy' + 2y}{x} = \frac{x}{x} $$
$$ \frac{xy'}{x} + \frac{2y}{x} = 1 $$
$$ y' + \frac{2y}{x} = 1 $$
In questo modo ottengo un'equazione differenziale lineare del tipo y'+a(x)y=b(x) con a(x)=2/x e b(x)=1
Questo mi consente di risolvere l'equazione differenziale con il metodo delle variazioni delle costanti.
$$ y = e^{-\int a(x) \ dx} \cdot [ \int b(x) \cdot e^{\int a(x) \ dx} + c ] $$
Sostituisco a(x)=2/x e b(x)=1
$$ y = e^{-\int \frac{2}{x} \ dx} \cdot [ \int \ 1 \cdot e^{\int \frac{2}{x} \ dx} + c ] $$
$$ y = e^{-2 \int \frac{1}{x} \ dx} \cdot [ \int e^{2 \int \frac{1}{x} \ dx} + c ] $$
L'integrale di 1/x è il logaritmo naturale di x.
$$ y = e^{-2 \log x} \cdot [ \int e^{2 \log x} + c ] $$
Il prodotto tra il numero di Nepero e il logaritmo naturale di x è la variabile x ossia elog(x)=x.
$$ y = x^{-2} \cdot [ \int x^2 + c ] $$
L'integrale di x2 è la primitiva x3/3
$$ y = x^{-2} \cdot [ \frac{x^3}{3} + c ] $$
$$ y = x^{-2} \cdot \frac{x^3}{3} + x^{-2} \cdot c $$
$$ y = \frac{x}{3} + x^{-2} \cdot c $$
Il risultato è la soluzione generale dell'equazione differenziale.
E così via.
