Segnali Fourier trasformabili

I segnali Fourier-trasformabili sono quei segnali che possono essere trasformati dal dominio del tempo nel dominio delle frequenze attraverso la trasformata di Fourier. $$ x(t) \stackrel{F}{ \Rightarrow } X(f) $$

Solo i segnali di energia, cioè quei segnali con energia finita, ammettono la trasformazione di Fourier.

L'energia di un segnale \( x(t) \) si calcola come l'integrale del modulo quadro del segnale sull'intero dominio temporale, cioè:

$$ E_x = \int_{-\infty}^{+\infty} |x(t)|^2 dt $$

Se questo integrale converge a un valore finito, il segnale è di energia, il che implica che può essere rappresentato nel dominio delle frequenze tramite la trasformata di Fourier.

$$ X(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) \cdot e^{-j 2\pi f t} \, dt $$

In parole semplici, il segnale ha una potenza limitata e può essere analizzato sia nel tempo che in frequenza. 

Perché un segnale di energia infinita non è rappresentabile nel dominio delle frequenze? Un segnale con energia infinita non è rappresentabile nel dominio delle frequenze perché la trasformata di Fourier richiede che l'energia del segnale sia finita per poter calcolare lo spettro del segnale. Questo avviene perché la trasformata di Fourier si basa su un integrale definito che, per produrre un risultato significativo, deve convergere a un valore finito.

Tipologie di segnali

Esistono due tipologie di segnali

• Segnali limitati nel tempo: Questi segnali hanno una durata finita e quindi un'energia finita. La maggior parte dei segnali utilizzati nelle telecomunicazioni rientra in questa categoria, poiché vengono trasmessi e ricevuti in intervalli temporali definiti. Per esempio, un segnale che inizia a \( t=0 \) e finisce a \( t=T \) ha un'energia che può essere facilmente calcolata, rendendolo Fourier-trasformabile.
• Segnali di durata infinita: In generale, i segnali di durata infinita hanno un'energia infinita e, quindi, non sono Fourier trasformabili. Tuttavia, esistono anche segnali di durata infinita che si estendono da \( t = -\infty \) a \( t = +\infty \) che hanno un'energia finita e ammettono la trasformata di Fourier. Questo avviene quando il segnale tende a zero per \( t \) che tende a più o meno infinito ( t \rightarrow \pm \infty ). In altre parole, anche se il segnale continua per un tempo infinito, la sua ampiezza diminuisce abbastanza rapidamente da garantire un'energia finita.

  Esempi tipici di segnali di durata infinita con un'energia finita sono i segnali esponenziali o alcuni segnali sinusoidali smorzati.

Nelle telecomunicazioni tutti i segnali sono limitati nel tempo, ovvero hanno durata limitata, poiché i sistemi trasmettono e ricevono segnali solo per periodi finiti.

Essendo dei segnali limitati nel tempo hanno un'energia finita.

Ciò significa che i segnali usati nelle telecomunicazioni sono tutti segnali di energia e possono essere analizzati nel dominio delle frequenze usando la trasformata di Fourier.

Nota. La trasformata di Fourier permette di passare dal dominio del tempo al dominio delle frequenze $$ X(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) \cdot e^{-j 2\pi f t} \, dt $$ Viceversa, l'antitrasformata (o trasformata inversa di Fourier) permette di passare dal dominio delle frequenze al dominio del tempo $$ x(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} X(f) \cdot e^{j 2\pi f t} \, df $$ Sono strumenti indispensabili per l'analisi di un segnale perché mi consentono di ottenere una rappresentazione completa del segnale in entrambe le dimensioni (tempo e frequenza).

Segnali non Fourier-trasformabili:

Esistono segnali che non possono essere trasformati nel dominio delle frequenze, come quelli che crescono indefinitamente (ad esempio, una retta che va all'infinito).

Questi segnali non hanno energia finita e quindi non soddisfano i requisiti per la trasformata di Fourier.

Perché non sono Fourier-trasformabili?

Quando applico la trasformata di Fourier, calcolo l'integrale del segnale x(t) moltiplicato per una funzione esponenziale complessa (cioè una sinusoide):

$$ X(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) \cdot e^{-j 2\pi f t} \, dt $$

Perché questo integrale converga (ovvero, dia un risultato finito), il segnale \( x(t) \) deve decrescere abbastanza velocemente da garantire che l'integrale non diverga.

Se il segnale ha energia infinita, ciò significa che la sua ampiezza non diminuisce sufficientemente o addirittura aumenta con il tempo, rendendo impossibile calcolare un valore finito per la trasformata.

Cosa significa avere energia infinita?

L'energia di un segnale \( x(t) \) è definita come:

$$ E_x = \int_{-\infty}^{+\infty} |x(t)|^2 dt $$

Se il risultato di questo integrale è infinito, significa che il segnale continua a "consumare" energia senza limiti.

In pratica, questo accade quando il segnale non diminuisce a zero né ai limiti di \( t \to \infty \), né di \( t \to -\infty \).

In questi casi, la trasformata di Fourier non può rappresentare il segnale nel dominio delle frequenze, perché il calcolo dell'energia non porta a un risultato significativo.

Esempio. Un segnale come una retta crescente all'infinito vede aumentare il valore ad ogni istante di tempo. In questo caso, l'integrale del modulo quadro del segnale diverge, quindi la sua energia è infinita. Se provassi a calcolare la trasformata di Fourier di un segnale così, otterrei un risultato non definito, perché non esiste una distribuzione di frequenze che possa rappresentare un segnale con energia infinita.

Per questa ragione, solo i segnali di energia finita possono essere rappresentati nel dominio delle frequenze tramite la trasformata di Fourier, perché questo mi garantisce che l'integrale necessario per calcolare lo spettro converga e produca un risultato utile.

E così via.