Teorema di Parseval (Teorema di Rayleigh)
Dato un segnale \( x(t) \) con trasformata di Fourier \( X(f) \), l'energia totale del segnale può essere calcolata sia nel dominio del tempo che in quello della frequenza: $$ E = \int_{-\infty}^{+\infty} |x(t)|^2 \, dt = \int_{-\infty}^{+\infty} |X(f)|^2 \, df $$ dove \( |x(t)|^2 \) rappresenta il modulo quadrato del segnale nel tempo,\( |X(f)|^2 \) il modulo quadrato della trasformata nel dominio della frequenza.
Il Teorema di Parseval, noto anche come Teorema di Rayleigh, stabilisce una relazione fondamentale tra l'energia di un segnale nel dominio del tempo e quella nel dominio della frequenza.
- Energia nel dominio del tempo
L'energia totale di un segnale \( x(t) \) si ottiene integrando il modulo quadrato del segnale nel tempo. - Energia nel dominio della frequenza
L'energia può essere altrettanto calcolata nel dominio delle frequenze come l'integrale del modulo quadrato dello spettro \( X(f) \).
Questo teorema è molto utile perché mi consente di calcolare l'energia del segnale direttamente dalla sua trasformata \( X(f) \), evitando di lavorare nel dominio del tempo.
Inoltre, facilita l'analisi dei segnali, soprattutto quando \( X(f) \) presenta componenti semplici (ad esempio, Delta di Dirac).
Un esempio pratico
Considero il segnale nel tempo
$$ x(t) = \cos(2\pi f_0 t) $$
La sua trasformata è:
$$ X(f) = \frac{1}{2} \left[ \delta(f - f_0) + \delta(f + f_0) \right] $$
L'energia nel dominio della frequenza è:
$$ E = \int_{-\infty}^{+\infty} |X(f)|^2 \, df $$
Poiché \( X(f) \) è costituito da due Delta di ampiezza \( \frac{1}{2} \), il modulo quadrato sarà:
$$ |X(f)|^2 = \frac{1}{4} \left[ \delta(f - f_0) + \delta(f + f_0) \right] $$
Integrando nel dominio delle frequenze, si ottiene l'energia del segnale:
$$ E = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} $$
Il teorema di Parseval conferma l'equivalenza tra energia nel tempo e nella frequenza.
Quindi, è molto utile quando si tratta di calcolare l'energia dei segnali a partire dalla loro rappresentazione spettrale.
E così via.
