La trasformata di Fourier
La trasformata di Fourier mi permette di scomporre una funzione non periodica in una combinazione lineare di funzioni con base ejwt dove ω di R. $$ F(ω) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \: e^{-jωt} \: dt $$ purché la funzione soddisfi la condizione di assoluta sommabilità.
Il segnale viene scomposto in un integrale, detto integrale di Fourier che può essere scritto in forma esponenziale.
$$ F(ω) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \: e^{-jωt} \: dt $$
I coefficienti della combinazione lineare sono i dati della funzione continua F(ω) che rappresenta lo spettro della funzione f(t).
Attenzione. La condizione di assoluta sommabilità è una condizione necessaria per la F-trasformata. Se nella funzione da trasformare manca questa condizione, non si può calcolare la F-trasformata della funzione.
L'anti-trasformata di Fourier
Come già visto per la trasformata di Laplace anche la trasformata di Fourier ha un'anti-trasformata.
$$ f(t) = \frac{1}{2π} \int_{-\infty}^{+\infty} F(ω) \: e^{jωt} \: dω $$
L'anti-trasformata di Fourier determina il segnale f(t) a partire dallo spettro F(ω)
Qual è la differenza tra serie e trasformata di Fourier. La trasformata di Fourier è un caso limite della serie di Fourier. La serie di Fourier mi permette di sviluppare in serie solo le funzioni dei segnali periodici. La trasformata di Fourier, invece, mi consente lo sviluppo in serie anche dei segnali non periodici.
Un esempio pratico
Esempio 1
La funzione del segnale nel tempo è
$$ u(t) = \frac{1}{1+t^2} $$
La trasformata di Fourier della funzione è la seguente
$$ F(ω) = \int_{-\infty}^{+\infty} u(t) \cdot e^{-jωt} \: dt $$
$$ F(ω) = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+t^2} \cdot e^{-jωt} \: dt $$
$$ F(ω) = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{-jωt}}{1+t^2} \: dt $$
Esempio 2
Prendo in considerazione un semplice segnale a impulso.
C'è un solo impulso di ampiezza K che si verifica dall'istante -τ all'istante τ, mentre negli altri istanti temporali il segnale è nullo.
La funzione temporale f(t) dell'impulso è
$$ f(t) = \begin{cases} K \:\:\: se \:\: t \in [-τ,τ] \\ \\ 0 \end{cases} $$
Si tratta di un segnale sommabile perché l'area al di sotto della funzione è finita.
La trasformata di Fourier per ω=0 è
$$ F(0) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \: dt = \int_{-τ}^τ K \: dt $$
$$ F(0) = K \int_{-τ}^τ \: dt $$
$$ F(0) = K \cdot (τ - (-τ)) $$
$$ F(0) = 2τK $$
Per ω≠0
$$ F(ω) = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-jωt} \: dt $$
$$ F(ω) = K \cdot \int_{-τ}^{τ} e^{-jωt} \: dt $$
$$ F(ω) = K \cdot [ \frac{e^{-jωt}}{-jω} ]_{-τ}^τ $$
$$ F(ω) = \frac{2K}{ω} \sin(ωτ) $$
In questo caso lo spettro della funzione f(t) è reale
La dimostrazione e spiegazione
Prendo in considerazione un segnale f(t) impulsivo non periodico.
Un segnale impulsivo tende a zero per t tendente a -∞ e +∞.
Questo segnale rispetta il vincolo di sommabilità perché l'area tra il grafico della funzione e l'ascisse è un numero finito.
$$ \int_{-\infty}^{+ \infty} |f(t)| \: dt \le M < \infty $$
Qualsiasi segnale non periodico ( es. un impulso ) posso considerarlo come il caso limite di un segnale periodico in cui il periodo T tende a infinito e la pulsazione fondamentale Ω tende a zero.
Posta la pulsazione uguale a
$$ ω = kΩ $$
l'incremento tra due pulsazioni successive è
$$ Δω = (k+1)Ω-kΩ = Ω $$
Considerando la serie di Fourier in forma esponenziale
$$ f(t) = \sum_{k=\infty}^{+\infty} F_k e^{jkΩt} $$
Sostituisco kΩ con ω
$$ f(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} F_k e^{jωt} $$
L'incremento Δω tra due pulsazioni successive nel periodo T è
$$ f(t) = \sum_{ω=-\infty}^{+\infty} F(ω) \frac{Δω}{T} e^{jωt} $$
$$ f(t) = \frac{1}{T} \cdot \sum_{ω= - \infty}^{+\infty} F(ω) \cdot e^{jωt} \cdot Δω $$
Poiché T=2π
$$ f(t) = \frac{1}{2π} \cdot \sum_{ω= - \infty}^{+\infty} F(ω) e^{jωt} \cdot Δω \:dt $$
Se faccio tendere la funzione a infinito, l'incremento Δω della pulsazione tende a zero, diventando un infinitesimo dω.
L'area tra il grafico è l'ascisse è un integrale pari a
$$ f(t) = \frac{1}{2π} \cdot \int_{- \infty}^{+\infty} F(ω) e^{jωt} \:dω $$
Ho ottenuto l'integrale di Fourier in forma esponenziale e da quest'ultimo ricavo la trasformata di Fourier.
$$ F(ω) = \frac{1}{2π} \cdot \int_{- \infty}^{+\infty} f(t) e^{-jωt} \:dt $$
La forma trigonometrica
Se il segnale f(t) è una funzione reale, l'integrale di Fourier si può riscrivere in forma trigoometrica.
$$ f(t) = \frac{1}{π} \int_0^{+\infty} a(ω) \cos(ωt) + b(ω) \sin(ωt) \: dω $$
I coefficienti dello sviluppo a(ω) e b(ω) sono funzioni continue reali
$$ a(ω) = 2 \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \cos(ωt) \: dt $$
$$ b(ω) = 2 \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \sin(ωt) \: dt $$
La trasformata di Fourier in forma trigonometrica è
$$ f(t) = \frac{1}{π} \int_{0}^{+\infty} c(ω) \cos(ωt+Φω) \: dω $$
Dove
$$ c(ω)=\sqrt{a^2(ω)+b^2(ω)} = 2|F(ω)| $$
$$ Φ(ω) = \arctan \frac{-b(ω)}{a(ω)} = \: arg \: F(ω) $$
La differenza tra trasformata di Fourier e Laplace
Metto a confronto la trasformata di Laplace F(s) e di Fourier
La trasformata di Laplace
$$ F(s) = \int_0^{\infty} f(t) e^{-st} \: dt $$
La L-trasformata è costruita su base e-st dove s è un numero complesso. Pertanto, si tratta di una funzione complessa di variabile complessa
$$ F(s):C \rightarrow C $$
Inoltre, la L-trasformata si applica soltanto nei casi in cui la funzione è nulla per t<0.
La trasformata di Fourier
$$ F(ω) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \: e^{-jωt} \: dt $$
La F-trasformata è costruita su base e-jωt dove la pulsazione ω è un numero reale ω∈R.
Quindi, è una funzione complessa di variabile reale
$$ F(w):R \rightarrow C $$
Inoltre, la F-trasformata si applica soltanto alle funzioni sommabili mentre la L-trasformata non è vincolata a questa caratteristica.
E così via.
