I quintili

Cosa sono i quintili

I quintili sono quattro indici di posizione (quantili) che dividono una distribuzione statistica in cinque parti uguali.

Ogni parte è un gruppo con lo stesso numero di elementi.

Esistono quattro quintili

• Il primo quintile (Q₁) raggruppa a sinistra 1/5 degli elementi (20%) della distribuzione.
• Il secondo quintile (Q₂) raggruppa a sinistra 2/5 degli elementi (40%) della distribuzione
• Il terzo quintile (Q₃) raggruppa a sinistra 3/5 degli elementi (60%) della distribuzione
• Il quarto quintile (Q₄) raggruppa a sinistra 4/5 degli elementi (80%) della distribuzione

Esempio. In questa seriazione il primo quintile Q₁=4,5, il secondo quintile Q₂=6.5, il terzo quintile Q₃=8,5 e il quarto quintile Q₄=10,5 dividono la distribuzione in cinque parti composte da due elementi ciascuna. $$ X = \{ \underbrace{3,4}, \color{red}{Q_1}, \underbrace{5, 6}, \color{red}{ Q_2 } , \underbrace{7, 8}, \color{red}{Q_3} ,\underbrace{9, 10}, \color{red}{Q_4} ,\underbrace{11, 12} \} $$ A volte si parla anche di quintile zero (Q₀) per indicare il primo elemento della distribuzione ordinata (es. 3) a e di quinto quartile (Q₄) per indicare l'ultimo elemento della distribuzione ordinata (es. 12).

Come calcolare i quintili

Per trovare i quintili di una distribuzione posso usare due procedure a seconda se la distribuzione è una serie di valori oppure una distribuzione di frequenze.

Serie

Per calcolare i quintili di una serie di valori

1. Ordino la distribuzione dei valori in modo crescente dal valore più piccolo al più grande
2. Moltiplico il numero totale degli elementi della serie per p=1/5 nel caso di Q₁ , per p=2/5 nel caso di Q₂, per p=3/5 nel caso di Q₃ e per p=4/5 nel caso di Q₄ $$ k = n \cdot p $$
3. Calcolo la posizione del quintile
   • Se il prodotto k è un numero intero, la posizione del quintile è la media tra il k-esimo e il (k+1)-esimo elemento della distribuzione.
   • Se il prodotto k non è intero, la posizione del quintile è k arrotondato per eccesso al primo intero successivo.

Distribuzioni di frequenze

Per calcolare i quintili in una distribuzione di frequenze

• Calcolo le frequenze assolute cumulate delle classi
• Divido il cumulato totale delle frequenze per 1/5, per 2/5, per 3/5 e per 4/5. In questo modo trovo la posizione del primo quintile (Q₁), del secondo quintile (Q₂), del terzo quintile (Q₃) e del quarto quintile (Q₄) nelle frequenze cumulate.
• Individuo gli intervalli delle frequenze cumulate che includono le posizioni dei quintili Q₁, Q₂, Q₃ e Q₄. Le rispettive classi di frequenza sono i quintili della distribuzione.

Nota. Il valore esatto di ogni quintile può essere calcolato usando diversi metodi. Ad esempio, potrei considerare come quintile il valore centrale della classe oppure calcolarlo per interpolazione lineare tra gli estremi della classe.

Un esempio pratico

Esempio 1

La seguente distribuzione è composta da n=9 elementi

$$ X = \{ 9,6,11,8,4,7,10,3,5 \} $$

Ordino la distribuzione in modo crescente

$$ X = \{ 3,4,5,6,7,8,9,10,11 \} $$

Per calcolare il primo quintile (Q₁) moltiplico il numero degli elementi (n=9) per 1/5

$$ k = n \cdot \frac{1}{5} = 9 \cdot \frac{1}{5} =1,8 $$

Il prodotto è un numero decimale (k=1,8).

Quindi approssimo per eccesso la posizione del primo quintile alla prima posizione intera superiore (k=2).

$$ X = \{ 3,\color{red}{4},5, 6,7,8,9,10,11 \} $$

Il secondo elemento (k=2) della serie è il valore 4.

$$ Q_1 = 4 $$

Pertanto, il primo quintile della distribuzione X è il valore Q₁=4

$$ X = \{ 3,\underbrace{4}_{Q_1}, 5, 6,7,8,9,10,11 \} $$

Per calcolare il secondo quintile (Q₂) moltiplico il numero degli elementi (n=9) per 2/5

$$ k = n \cdot \frac{2}{5} = 9 \cdot \frac{2}{5} =3,6 $$

Il prodotto è un numero decimale (k=3,6).

Quindi, approssimo la posizione del secondo quintile alla prima posizione intera seguente (k=4) della serie.

$$ X = \{ 3,4, 5, \color{red}{6},7,8,9,10,11 \} $$

Il quarto elemento (k=4) è il valore 6.

$$ Q_2 = 6 $$

Pertanto, il secondo quintile della serie è il valore Q₂=6

$$ X = \{ 3,4,5,\underbrace{6}_{Q_2} ,7,8,9,10,11 \} $$

Per trovare il terzo quintile (Q₃) moltiplico il numero degli elementi (n=9) per 3/5

$$ k = n \cdot \frac{3}{5} = 9 \cdot \frac{3}{5} =5,4 $$

Il prodotto è un numero decimale (k=5,4).

Quindi, approssimo per eccesso la posizione del terzo quintile alla prima posizione intera successiva (k=6) della serie.

$$ X = \{ 3,4,5,6,7,\color{red}{8},9,10,11 \} $$

Il sesto elemento (k=6) è il valore 8.

$$ Q_3 = 8 $$

Pertanto, il terzo quintile della serie è il valore Q₃=8

$$ X = \{ 3,4,5,6,7,\underbrace{8}_{Q_3},9,10,11 \} $$

Per trovare il quarto quintile (Q₃) moltiplico il numero degli elementi (n=9) per 4/5

$$ k = n \cdot \frac{4}{5} = 9 \cdot \frac{4}{5} =7,2 $$

Il prodotto è un numero decimale (k=7,2).

Quindi, approssimo per eccesso la posizione del terzo quintile alla prima posizione intera successiva (k=8) della serie.

$$ X = \{ 3,4,5,6,7,8,9,\color{red}{10},11 \} $$

L'ottavo elemento (k=8) è il valore 10.

$$ Q_4 = 10 $$

Pertanto, il quarto quintile della serie è il valore Q₄=10

$$ X = \{ 3,4,5,6,7,\underbrace{8}_{Q_3},9,10,11 \} $$

Complessivamente i tre quartili Q₁ = 4, Q₂ = 6, Q₃ = 8 e Q₃ = 10 dividono la distribuzione in quattro parti.

$$ X = \{ \underbrace{3}, \underset{ Q_1 }{ \color{red}4 }, \underbrace{5}, \underset{ Q_2 }{ \color{red}6 },\underbrace{ 7 }, \underset{ Q_3 }{ \color{red}8 }, \underbrace{9}, \underset{ Q_4 }{ \color{red}{10} }, \underbrace{11} \} $$

Nota. In questo caso i quattro quintili sono valori approssimati appartenenti alla distribuzione X.

Esempio 2

Considero la precedente distribuzione aggiungendo un elemento

Ora la distribuzione ha n=10 elementi

$$ X = \{ 9,6,8,4,7,10,3,5, 11, 12 \} $$

Ordino gli elementi della distribuzione X in modo crescente

$$ X = \{ 3,4,5,6,7,8,9,10, 11, 12 \} $$

Per calcolare il primo quintile (Q₁) moltiplico il numero degli elementi (n=10) per 1/5

$$ k = n \cdot \frac{1}{5} = 10 \cdot \frac{1}{5} =2 $$

Il prodotto k=2 è un numero intero.

Quindi, calcolo la media tra il valore alla posizione k=2 e quello alla posizione successiva k+1=3

$$ X = \{ 3,\color{red}4,\color{red}5,6,7,8,9,10,11,12 \} $$

Il secondo elemento (k=2) è il valore 4 mentre il terzo elemento (k=3) è il valore 5

Pertanto, il primo quintile della distribuzione X è il valore Q₁=4,5

$$ Q_1 = \frac{4+5}{2} = 4,5 $$

Per calcolare il secondo quintile (Q₂) moltiplico il numero degli elementi (n=10) per 2/5

$$ k = n \cdot \frac{2}{5} = 10 \cdot \frac{2}{5} =4 $$

Il prodotto k=4 è un numero intero.

Quindi, calcolo la media tra il valore alla posizione k=4 e quello alla posizione successiva k+1=5

$$ X = \{ 3,4,5,\color{red}6,\color{red}7,8,9,10,11,12 \} $$

Il quarto elemento (k=4) è il valore 6 mentre il quinto elemento (k=5) è il valore 7

Pertanto, il secondo quintile della distribuzione X è il valore Q₂=6,5

$$ Q_2 = \frac{6+7}{2} = 6,5 $$

Per calcolare il terzo quintile (Q₃) moltiplico il numero degli elementi (n=10) per 3/5

$$ k = n \cdot \frac{3}{5} = 10 \cdot \frac{3}{5} =6 $$

Il prodotto k=6 è un numero intero.

Quindi, calcolo la media tra il valore alla posizione k=6 e quello alla posizione successiva k+1=7

$$ X = \{ 3,4,5,6,7,\color{red}8,\color{red}9,10 \} $$

Il sesto elemento (k=6) è il valore 8 mentre il settimo elemento (k=7) è il valore 9

Pertanto, il terzo quintile della distribuzione X è il valore Q₃=8,5

$$ Q_2 = \frac{8+9}{2} = 8,5 $$

Per calcolare il quarto quintile (Q₄) moltiplico il numero degli elementi (n=10) per 4/5

$$ k = n \cdot \frac{4}{5} = 10 \cdot \frac{4}{5} =8 $$

Il prodotto k=8 è un numero intero.

Quindi, calcolo la media tra il valore alla posizione k=8 e quello alla posizione successiva k+1=9

$$ X = \{ 3,4,5,6,7,8,9,\color{red}{10},\color{red}{11},12 \} $$

L'ottavo elemento (k=8) è il valore 10 mentre il nono elemento (k=9) è il valore 11

Pertanto, il quarto quintile della distribuzione X è il valore Q₄=10,5

$$ Q_4 = \frac{10+11}{2} = 10,5 $$

Complessivamente i quattro quintili Q₁ = 4,5, Q₂ = 6,5, Q₃ = 8,5 e Q₄ = 10,5 dividono la distribuzione X in quattro parti.

$$ X = \{ \underbrace{3,4}, \color{red}{Q_1}, \underbrace{5, 6}, \color{red}{ Q_2 } , \underbrace{7, 8}, \color{red}{Q_3} ,\underbrace{9, 10}, \color{red}{Q_4} ,\underbrace{11, 12} \} $$

Nota. In questo caso i quattro quintili sono valori approssimati che non appartengono alla distribuzione X.

Esempio 3

Considero questa distribuzione di frequenze.

E' la distribuzione dei voti ottenuti da 40 studenti in una sessione di esame.

I voti da 18 a 30 sono le modalità in cui si è presentato il fenomeno.

A ciascun voto è associata la frequenza assoluta ossia il numero degli studenti che l'hanno ottenuto.

Per trovare i quintili aggiungo la colonna delle frequenze cumulate.

Il totale delle frequenze cumulate è f_tot=40

Per trovare il primo quintile moltiplico le frequenze cumulate f_tot=40 per 1/5

$$ k =f_{tot} \cdot \frac{1}{5} = 40 \cdot \frac{1}{5} = 8 $$

Il risultato 8 è compreso nell'intervallo 2-9 delle frequenze cumulate.

Pertanto, il primo quintile è la classe Q₁=20

Per trovare il secondo quintile moltiplico le frequenze cumulate f_tot=40 per 2/5

$$ k =f_{tot} \cdot \frac{2}{5} = 40 \cdot \frac{2}{5} = 16 $$

Il risultato 16 è compreso nell'intervallo 16-22 delle frequenze cumulate.

Pertanto, il secondo quintile è la classe Q₂=24

Per trovare il terzo quintile moltiplico le frequenze cumulate f_tot=40 per 3/5

$$ k =f_{tot} \cdot \frac{3}{5} = 40 \cdot \frac{3}{5} = 24 $$

Il risultato 24 è compreso nell'intervallo 22-30 delle frequenze cumulate.

Pertanto, il terzo quintile è la classe Q₃=25

Per trovare il quarto quintile moltiplico le frequenze cumulate f_tot=40 per 4/5

$$ k =f_{tot} \cdot \frac{4}{5} = 40 \cdot \frac{4}{5} = 32 $$

Il risultato 32 è compreso nell'intervallo 30-34 delle frequenze cumulate.

Pertanto, il quarto quintile è la classe Q₄=26

Nota. Mettendo i 40 voti in serie dal più piccolo al più grande, i quattro quintili Q₁, Q₂, Q₃,Q₄ sono le posizioni che dividono la serie in cinque parti uguali.

Esempio 4

Questa distribuzione di frequenza è divisa in cinque classi

Aggiungo la colonna delle frequenze assolute cumulate

Il totale delle frequenze cumulate è f_tot=40

Per trovare il primo quintile Q₁ moltiplico le frequenze cumulate f_tot=40 per 1/5

$$ k =f_{tot} \cdot \frac{1}{5} = 40 \cdot \frac{1}{5} = 8 $$

Il risultato 8 è compreso nelle frequenze cumulate da 1 a 9 della classe 18-20.

Utilizzo l'interpolazione lineare per ottenere il valore preciso del quintile

$$ Q_1 = x_{inf} + (x_{sup} - x_{inf}) \cdot \frac{ c - n_{prec} }{n_{classe}} $$

I termini hanno questo significato

• x_inf=18 e x_sup=20 sono gli estremi della classe 18-20
• c=8 è la posizione del primo quintile
• n_classe=9 è la frequenza della classe 18-20
• n_prec=0 è la frequenza cumulata delle classi precedenti alla classe 18-20

A questo punto sostituisco i valori e svolgo i calcoli

$$ Q_1 = 18 + (20 - 18) \cdot \frac{ 8 - 0 }{9} $$

$$ Q_1 = 18 + 2 \cdot \frac{ 8 }{9} $$

$$ Q_1 = 19,77 $$

Pertanto, il primo quintile è Q₁=19,7

Nota. In alternativa per trovare il valore approssimato del primo quintile posso calcolare il valore centrale della classe. In questo caso, il valore centrale della classe 18-20 è 19. Pertanto, il valore approssimato del primo quintile è Q₁=19. Si tratta di un valore approssimato, meno preciso rispetto all'interpolazione lineare ma più rapido da calcolare.

Per calcolare il secondo quintile Q₂ moltiplico le frequenze cumulate f_tot=40 per 2/5

$$ k =f_{tot} \cdot \frac{2}{5} = 40 \cdot \frac{2}{5} = 16 $$

Il risultato 16 è compreso nelle frequenze cumulate da 16 a 30 della classe 23-25.

Uso l'interpolazione lineare per conoscere il valore preciso del secondo quintile

$$ Q_2 = x_{inf} + (x_{sup} - x_{inf}) \cdot \frac{ c - n_{prec} }{n_{classe}} $$

I termini hanno questo significato

• x_inf=23 e x_sup=25 sono gli estremi della classe 23-25
• c=16 è la posizione del secondo quintile
• n_classe=14 è la frequenza della classe 23-25.
• n_prec=16 è la frequenza cumulata delle classi precedenti alla classe 23-25

Sostituisco i valori e svolgo i calcoli

$$ Q_2 = 23 + (25 - 23) \cdot \frac{ 16 - 16 }{14} $$

$$ Q_2 = 23 + 2 \cdot \frac{ 0 }{14} $$

$$ Q_2 = 23 $$

Pertanto, il secondo quintile è Q₂=23

Per calcolare il terzo quintile Q₃ moltiplico le frequenze cumulate f_tot=40 per 3/5

$$ k =f_{tot} \cdot \frac{3}{5} = 40 \cdot \frac{3}{5} = 24 $$

Il risultato 24 è compreso nelle frequenze cumulate da 16 a 30 della classe 23-25.

Uso l'interpolazione lineare per calcolare il valore preciso del terzo quintile

$$ Q_3 = x_{inf} + (x_{sup} - x_{inf}) \cdot \frac{ c - n_{prec} }{n_{classe}} $$

I termini hanno questo significato

• x_inf=23 e x_sup=25 sono gli estremi della classe 23-25
• c=24 è la posizione del secondo quartile
• n_classe=14 è la frequenza della classe 23-25.
• n_prec=16 è la frequenza cumulata delle classi precedenti alla classe 23-25

A questo punto sostituisco i valori e svolgo i calcoli

$$ Q_3 = 23 + (25 - 23) \cdot \frac{ 24 - 16 }{14} $$

$$ Q_3 = 23 + 2 \cdot \frac{ 8 }{14} $$

$$ Q_3 = 24,14 $$

Pertanto, il terzo quintile è Q₃=24,14

Per calcolare il quarto quintile Q₃ moltiplico le frequenze cumulate f_tot=40 per 4/5

$$ k =f_{tot} \cdot \frac{4}{5} = 40 \cdot \frac{4}{5} = 32 $$

Il risultato 32 è compreso nelle frequenze cumulate da 30 a 39 della classe 26-28.

Uso l'interpolazione lineare per calcolare il valore preciso del quarto quintile

$$ Q_3 = x_{inf} + (x_{sup} - x_{inf}) \cdot \frac{ c - n_{prec} }{n_{classe}} $$

I termini hanno questo significato

• x_inf=26 e x_sup=28 sono gli estremi della classe 26-28
• c=32 è la posizione del quarto quartile
• n_classe=9 è la frequenza della classe 26-28.
• n_prec=30 è la frequenza cumulata delle classi precedenti alla classe 26-28

A questo punto sostituisco i valori e svolgo i calcoli

$$ Q_4 = 26 + (28 - 26) \cdot \frac{ 32 - 30 }{9} $$

$$ Q_4 = 26 + 2 \cdot \frac{ 2 }{9} $$

$$ Q_4 = 26,44 $$

Pertanto, il quarto quintile è Q₄=26,44

E così via.