I decili

Cosa sono i decili

I decili sono nove indici di posizione (quantili) che dividono una distribuzione statistica in dieci parti uguali.

Ogni parte ha lo stesso numero di elementi.

Esistono nove decili

• Il primo decile (D₁) raggruppa a sinistra 1/10 degli elementi (10%) della distribuzione.
• Il secondo decile (D₂) raggruppa a sinistra 2/10 degli elementi (20%) della distribuzione.
• Il terzo decile (D₃) raggruppa a sinistra 3/10 degli elementi (30%) della distribuzione.
• Il quarto decile (D₄) raggruppa a sinistra 4/10 degli elementi (40%) della distribuzione.
• Il quinto decile (D₅) raggruppa a sinistra 5/10 degli elementi (50%) della distribuzione.
• Il sesto decile (D₆) raggruppa a sinistra 6/10 degli elementi (60%) della distribuzione.
• Il settimo decile (D₇) raggruppa a sinistra 7/10 degli elementi (70%) della distribuzione.
• L'ottavo decile (D₈) raggruppa a sinistra 8/10 degli elementi (80%) della distribuzione.
• Il nono decile (D₉) raggruppa a sinistra 9/10 degli elementi (90%) della distribuzione.

Esempio. In questa serie composta da 40 elementi i 9 decili dividono la distribuzione ordinata in dieci parti. Ogni parte è composta da quattro elementi.

Come calcolare i decili

Per calcolare i decili utilizzo due procedure a seconda se la distribuzione X è una serie di valori o una distribuzione di frequenze.

Serie

Per calcolare i decili di una serie di valori

1. Ordino la distribuzione dei valori in modo crescente
2. Moltiplico il numero degli elementi della serie per p=1/10 nel caso di D₁ , per p=2/10 nel caso di D₂ e per p=3/10 nel caso di D₃ e via dicendo fino a D₁₀ $$ k = n \cdot p $$
3. Calcolo la posizione del decile
   • Se k è un numero intero, il decile è la media tra il valore del k-esimo elemento e quello del (k+1)-esimo elemento della distribuzione.
   • Se k non è un intero, arrotondo k per eccesso al primo intero più grande. Il decile è il valore nella posizione k-esima della distribuzione.

Distribuzioni di frequenze

Per calcolare i decili in una distribuzione di frequenze

• Calcolo le frequenze cumulate assolute delle classi della distribuzione
• Divido il totale delle frequenze cumulate per 1/10, per 2/10, per 3/10, per 4/10, ... fino a 9/10. In questo modo trovo rispettivamente la posizione del primo decile (D₁), del secondo decile (D₂), del terzo decile (D₃), ... , del nono decile (D₉) nelle frequenze cumulate.
• Individuo gli intervalli delle frequenze cumulate che comprendono le posizioni dei decili D₁, D_2, D₃, ... , D₉. Le rispettive classi di frequenza sono i decili della distribuzione.

Nota. Ci sono diversi metodi per calcolare il valore dei decili. Ad esempio, posso usare il valore medio della classe come decile. Per ottenere un valore più preciso del decile posso anche calcolare il decile per interpolazione lineare.

Un esempio pratico

Esempio 1

Considero una distribuzione con n=9 elementi

$$ X = \{ 9,6,11,8,4,7,10,3,5 \} $$

Ordino i valori della distribuzione in modo crescente

$$ X = \{ 3,4,5,6,7,8,9,10,11 \} $$

Per calcolare il primo decile (D₁) moltiplico il numero totale degli elementi (n=9) per 1/10

$$ k = n \cdot \frac{1}{10} = 9 \cdot \frac{1}{10} =0,9 $$

Il risultato è un numero non intero k=0,9.

Quindi approssimo per eccesso la posizione del primo decile alla prima posizione intera (k=1).

$$ X = \{ \color{red}{3},4,5, 6,7,8,9,10,11 \} $$

Il primo elemento (k=1) della serie è il valore 3.

$$ D_1 = 3 $$

Pertanto, il primo decile della distribuzione X è il valore D₁=3

$$ X = \{ \underbrace{3}_{D_1},4,5, 6,7,8,9,10,11 \} $$

Per calcolare il quarto decile (D₄) moltiplico il numero degli elementi (n=9) per 4/10

$$ k = n \cdot \frac{4}{10} = 9 \cdot \frac{4}{10} =3,6 $$

Il prodotto è un numero decimale k=3,6.

Quindi, arrotondo la posizione per eccesso a k=4.

$$ X = \{ 3,4, 5, \color{red}{6},7,8,9,10,11 \} $$

Il quarto elemento (k=4) della srie è il valore 6.

$$ D_4 = 6 $$

Pertanto, il quarto decile della serie è il valore D₄=6

$$ X = \{ 3,4,5,\underbrace{6}_{D_4},7 ,8,9,10,11 \} $$

Per calcolare il settimo decile (D₇) moltiplico il numero degli elementi della serie (n=9) per 7/10

$$ k = n \cdot \frac{7}{10} = 9 \cdot \frac{7}{10} =6,3 $$

Il risultato è un numero decimale k=6,3.

Quindi, approssimo la posizione per eccesso a k=7.

$$ X = \{ 3,4,5,6,7,8,\color{red}{9},10,11 \} $$

Il settimo elemento (k=7) è il valore 9.

$$ D_7 = 9 $$

Pertanto, il settimo decile della serie è il valore D₇=9

$$ X = \{ 3,4,5,6,7,8,\underbrace{9}_{D_7},10,11 \} $$

Allo stesso modo si calcolano gli altri decili della serie.

Nota. In questo caso i decili che ho appena trovato D₁=3, D₄=6, D₇=9 sono valori approssimati che appartengono alla distribuzione X. Non è detto che sia sempre così

Esempio 2

Questa distribuzione è composta da n=8 elementi

$$ X = \{ 9,6,8,4,7,10,3,5 \} $$

Ordino la distribuzione X in modo crescente

$$ X = \{ 3,4,5,6,7,8,9,10 \} $$

Per calcolare il quinto decile (D₅) moltiplico il numero degli elementi (n=8) per 5/10

$$ k = n \cdot \frac{5}{10} = 8 \cdot \frac{5}{10} =4 $$

Il prodotto k=4 è un numero intero.

Quindi, calcolo la media tra il valore alla posizione k=4 e quello alla posizione successiva k+1=5

$$ X = \{ 3,4,5,\color{red}6, \color{red}7,8,9,10 \} $$

Il quarto elemento (k=4) è il valore 6 mentre il quinto elemento (k=5) è il valore 7

Pertanto, il quinto decile della distribuzione X è il valore D₅=6,5

$$ D_5 = \frac{6+7}{2} = 6,5 $$

Nota. In questo caso il decile è un valore che non appartiene alla distribuzione X.

Esempio 3

Considero questa distribuzione di frequenze.

La tabella mostra i voti in una sessione di esami a cui hanno partecipato 40 studenti.

Le modalità del fenomeno statistico sono i voti da 18 a 30 mentre le frequenze assolute sono il numero degli studenti.

Per trovare i decilii aggiungo la colonna delle frequenze cumulate

Il totale delle frequenze cumulate è f_tot=40

Per trovare il terzo decile moltiplico le frequenze cumulate f_tot=40 per 3/10

$$ k =f_{tot} \cdot \frac{3}{10} = 40 \cdot \frac{3}{10} = 12 $$

Il risultato 12 è compreso nell'intervallo 9-13 delle frequenze cumulate.

Pertanto, il terzo decile è la classe D₃=21

Per trovare il sesto decile moltiplico le frequenze cumulate f_tot=40 per 6/10

$$ k =f_{tot} \cdot \frac{6}{10} = 40 \cdot \frac{6}{10} = 24 $$

Il risultato 24 è compreso nell'intervallo 22-30 delle frequenze cumulate.

Pertanto, il sesto decile è la classe D₆=25

Per trovare l'ottavo decile moltiplico le frequenze cumulate f_tot=40 per 8/10

$$ k =f_{tot} \cdot \frac{8}{10} = 40 \cdot \frac{8}{10} = 32 $$

Il risultato 32 è compreso nell'intervallo 30-34 delle frequenze cumulate.

Pertanto, l'ottavo decile è la classe D₈=26

Nota. Mettendo i 40 voti in serie dal più piccolo al più grande, i nove decili D₁, D₂, D₃ , ... , D₉ sono le posizioni che dividono la serie in dieci parti uguali.

Esempio 4

Questa distribuzione di frequenza è suddivisa in classi

Aggiungo la colonna delle frequenze assolute cumulate

Il totale delle frequenze cumulate è f_tot=40

Per trovare il terzo decile D₃ moltiplico le frequenze cumulate f_tot=40 per 3/10

$$ k =f_{tot} \cdot \frac{3}{10} = 40 \cdot \frac{4}{10} = 12 $$

Il risultato 12 è compreso nelle frequenze cumulate da 9 a 16 della classe 21-22.

Per ottenere il valore preciso del decile ricorro all'interpolazione lineare.

$$ D_3 = x_{inf} + (x_{sup} - x_{inf}) \cdot \frac{ c - n_{prec} }{n_{classe}} $$

I termini hanno questo significato

• x_inf=21 e x_sup=22 sono gli estremi della classe 21-22
• c=12 è la posizione del terzo decile
• n_classe=7 è la frequenza della classe 21-22.
• n_prec=9 è la frequenza cumulata delle classi precedenti alla classe 21-22

A questo punto sostituisco i valori e svolgo i calcoli

$$ D_3 = 21 + (22 - 21) \cdot \frac{ 12 - 9 }{7} $$

$$ D_3 = 21 + 1 \cdot \frac{ 3 }{7} $$

$$ D_3 = 21,42 $$

Pertanto, il terzo decile è D₃=21,42

Nota. In alternativa potrei stimare il decile con il valore medio della classe. In questo caso, il valore centrale della classe 21-22 è 21,5. Pertanto, il valore approssimato del terzo decile è D₃=21,5. Si tratta di un valore approssimato, meno preciso rispetto all'interpolazione lineare ma più facile e rapido da calcolare.

Per calcolare il sesto decile D₆ moltiplico le frequenze cumulate f_tot=40 per 6/10

$$ k =f_{tot} \cdot \frac{6}{10} = 40 \cdot \frac{6}{10} = 24 $$

Il risultato 24 è compreso nelle frequenze cumulate da 16 a 30 della classe 23-25.

Utilizzo l'interpolazione lineare per conoscere il valore preciso del sesto decile.

$$ D_6 = x_{inf} + (x_{sup} - x_{inf}) \cdot \frac{ c - n_{prec} }{n_{classe}} $$

I termini hanno questo significato

• x_inf=23 e x_sup=25 sono gli estremi della classe 23-25
• c=24 è la posizione del sesto decile
• n_classe=14 è la frequenza della classe 23-25
• n_prec=16 è la frequenza cumulata delle classi precedenti alla classe 23-25

A questo punto sostituisco i valori e svolgo i calcoli

$$ D_6 = 23 + (25 - 23) \cdot \frac{ 24 - 16 }{14} $$

$$ D_6 = 23 + 2 \cdot \frac{ 8 }{14} $$

$$ D_6 = 24,14 $$

Pertanto, il sesto decile è D₆=24,14

Per calcolare l'ottavo decile D₈ moltiplico le frequenze cumulate f_tot=40 per 8/10

$$ k =f_{tot} \cdot \frac{8}{10} = 40 \cdot \frac{8}{10} = 32 $$

Il risultato 32 è compreso nelle frequenze cumulate da 30 a 39 della classe 26-28.

Uso l'interpolazione lineare per calcolare il valore preciso dell'ottavo decile.

$$ D_8 = x_{inf} + (x_{sup} - x_{inf}) \cdot \frac{ c - n_{prec} }{n_{classe}} $$

I termini hanno questo significato

• x_inf=26 e x_sup=28 sono gli estremi della classe 26-28
• c=32 è la posizione dell'ottavo decile
• n_classe=9 è la frequenza della classe 26-28.
• n_prec=30 è la frequenza cumulata delle classi precedenti alla classe 26-28

A questo punto sostituisco i valori e svolgo i calcoli

$$ D_8 = 26 + (28 - 26) \cdot \frac{ 32 - 30 }{9} $$

$$ D_8 = 26 + 2 \cdot \frac{ 2 }{9} $$

$$ D_8 = 26.44 $$

Pertanto, l'ottavo decile è D₈=26,44

E così via.