Esercizio calcolo integrale 9
In questo esercizio devo risolvere l'integrale
$$ \int \frac{x+2}{x^3-x^2-2x} \ dx $$
Provo a deframmentare la funzione integranda in fratti semplici
Il polinomio al denominatore ha molteplicità pari a uno.
Spieazione. Il polinomio ha molteplicità 1 perchè è divisibile per (x-r) una sola volta. $$ x^3 - x^2 - 2x $$ $$ x \cdot ( x^2 - x - 2 ) $$ Le radici del polinomio sono r1=0, r2=-1, r3=2. Applico il metodo di Ruffini usando la soluzione r=2 per dividere il polinomio per (x-2) ottenendo l'espressione equivalente $$ x \cdot (x-2) \cdot (x+1 ) $$ Quest'ultima ha molteplicità pari a uno ossia (x-2)1
Avendo molteplicità uno posso decomporre la funzione in fratti semplici in questo modo
$$ \frac{x+2}{x^3-x^2-2x} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-2} + \frac{C}{x+1} $$
Dove A, B, C sono dei valori ancora da calcolare
$$ \frac{x+2}{x^3-x^2-2x} = \frac{A(x-2)(x+1) + Bx(x+1) + Cx(x-2)}{x(x-2)(x+1)} $$
$$ \frac{x+2}{x^3-x^2-2x} = \frac{A(x^2+x-2x-2) + B(x^2+x) + C(x^2-2x)}{x(x-2)(x+1)} $$
$$ \frac{x+2}{x^3-x^2-2x} = \frac{A(x^2-x-2) + B(x^2+x) + C(x^2-2x)}{x(x-2)(x+1)} $$
$$ \frac{x+2}{x^3-x^2-2x} = \frac{x^2(A+B+C)+x(B-A-2C)-2A}{x(x-2)(x+1)} $$
Per l'identità dei polinomi eguaglio i coefficienti dei numeratori.
$$ \begin{cases} A+B+C=0 \\ \\ B-A-2C=1 \\ \\ -2A = 2 \end{cases} $$
Spiegazione. Nel primo membro il coefficiente della x2 è zero perché non c'è l'incognita x2 mentre al secondo membro è A+B+C Quindi eguagliando i coefficienti ottengo A+B+C=0. E via dicendo per le altre equazioni del sistema.
Cerco una soluzione del sistema tramite il metodo della sostituzione
$$ \begin{cases} (-1)+B+C=0 \\ \\ B-(-1)-2C=1 \\ \\ A = -1 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} B+C=1 \\ \\ B+1-2C=1 \\ \\ A = -1 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} B+C=1 \\ \\ B-2C=0 \\ \\ A = -1 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} B=1-C \\ \\ (1-C)-2C=0 \\ \\ A = -1 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} B=1-C \\ \\ 1-3C=0 \\ \\ A = -1 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} B=1-C \\ \\ C= \frac{1}{3} \\ \\ A = -1 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} B=1-\frac{1}{3} \\ \\ C= \frac{1}{3} \\ \\ A = -1 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} B=\frac{3-1}{3} \\ \\ C= \frac{1}{3} \\ \\ A = -1 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} B=\frac{2}{3} \\ \\ C= \frac{1}{3} \\ \\ A = -1 \end{cases} $$
Dopo aver trovato i termini A=-1, B=2/3, C=1/3 li sostituisco nella funzione integranda
$$ \frac{x+2}{x^3-x^2-2x} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-2} + \frac{C}{x+1} $$
$$ \frac{x+2}{x^3-x^2-2x} = \frac{-1}{x} + \frac{ \frac{2}{3} }{x-2} + \frac{ \frac{1}{3} }{x+1} $$
A questo punto posso riscrivere l'integrale iniziale in questo modo
$$ \int \frac{x+2}{x^3-x^2-2x} \ dx = \int \frac{-1}{x} + \frac{ \frac{2}{3} }{x-2} + \frac{ \frac{1}{3} }{x+1} \ dx $$
In questa nuova forma posso suddividere l'integrale in una somma di integrali.
$$ \int \frac{-1}{x} + \frac{ \frac{2}{3} }{x-2} + \frac{ \frac{1}{3} }{x+1} \ dx$$
$$ \int \frac{-1}{x} \ dx + \int \frac{ \frac{2}{3} }{x-2} \ dx + \int \frac { \frac{1}{3} }{x+1} \ dx$$
$$ - \int \frac{1}{x} \ dx + \frac{2}{3} \int \frac{ 1 }{x-2} \ dx + \frac{1}{3} \int \frac{ 1 }{x+1} \ dx$$
Adesso gli integrali sono elementari. Pertanto, la soluzione si trova più facilmente.
Il primo integrale è log |x|+c
$$ - \log |x| + c + \frac{2}{3} \int \frac{ 1 }{x-2} \ dx + \frac{1}{3} \int \frac{ 1 }{x+1} \ dx$$
Il secondo integrale è log |x-2|+c
$$ - \log |x| + c + \frac{2}{3} \log |x-2| + \frac{1}{3} \int \frac{ 1 }{x+1} \ dx$$
Il terzo integrale è log |x+1|+c
$$ - \log |x| + c + \frac{2}{3} \log |x-2| + \frac{1}{3} \log |x+1| $$
Pertanto, la soluzione dell'integrale è
$$ \frac{2}{3} \log |x-2| + \frac{1}{3} \log |x+1| - \log |x| + c $$
E così via.
