Esercizio calcolo integrale 4
Devo risolvere questo integrale definito
$$ \int_0^{\frac{1}{2}} \sqrt{1-x^2} \ dx $$
Il radicando 1-x2 mi ricorda una relazione trigonometrica tra il coseno e il seno ossia cos=√(1-sin2x) che deriva dalla prima relazione fondamentale della trigonometria.
Nota. Sapendo dalla prima relazione fondamentale della trigonometria che $$ \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 $$ allora $$ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha $$ $$ \sqrt{ \cos^2 \alpha } = \sqrt{ 1 - \sin^2 \alpha } $$ $$ \cos \alpha = \sqrt{ 1 - \sin^2 \alpha } $$
Applico la tecnica di integrazione per sostituzione assegnando alla variabile x il valore sen(t).
$$ x = \sin(t) $$
La funzione seno è invertibile, quindi ricavo t tramite l'arcocoseno.
$$ t = \arcsin(x) $$
A questo punto devo scegliere di procedere su una delle due identità. Scelgo la prima.
Derivo entrambi i membri dell'equazione rispetto alla propria variabile
$$ D[x] = D[\sin(t)] $$
$$ dx = \cos(t) \ dt $$
Sostituisco dx=cos(t)dt nell'integrale.
$$ \int_0^{\frac{1}{2}} \sqrt{1-x^2} \ dx $$
$$ \int_0^{\frac{1}{2}} \sqrt{1-x^2} \ cos(t) $$
Poi sostituisco x=sin(t) nell'integrale.
$$ \int_0^{\frac{1}{2}} \sqrt{1-\sin^2(t)} \ cos(t) dt $$
Sapendo che √1-sin2(t)=cos(t)
$$ \int_0^{\frac{1}{2}} \cos(t) \cdot \ cos(t) dt $$
$$ \int_0^{\frac{1}{2}} \cos^2(t) \ dt $$
Adesso la variabile di integrazione è t=sin(x).
Pertanto, devo modificare anche gli estremi dell'integrale definito in funzione di t.
$$ \int_{sin(0)}^{\sin(\frac{1}{2})} \cos^2(t) \ dt $$
$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos^2(t) \ dt $$
Applico la formula di duplicazione del coseno cos(2t)=2cos2(t)-1 da cui ricavo cos2(t)=(cos(2t)+1)/2.
Quindi posso riscrivere l'integrale in questa forma equivalente
$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{\cos(2t)+1}{2} \ dt $$
Questo mi permette di suddividere e semplificare l'integrale
$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{2} + \frac{\cos(2t)}{2} \ dt $$
$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{2} \ dt + \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{\cos(2t)}{2} \ dt $$
$$ \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \ dt + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos(2t) \ dt $$
Il primo integrale si risolve con la primitiva t
$$ \frac{1}{2} [t]_{0}^{\frac{\pi}{6}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos(2t) \ dt$$
$$ \frac{1}{2} [\frac{\pi}{6}-0] + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos(2t) \ dt $$
$$ \frac{\pi}{12} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos(2t) \ dt $$
Per risolvere il secondo integrale moltiplico e divido per 2
$$ \frac{\pi}{12} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{2}{2} \cdot \cos(2t) \ dt $$
$$ \frac{\pi}{12} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} 2 \cdot \cos(2t) \ dt $$
$$ \frac{\pi}{12} + \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} 2 \cdot \cos(2t) \ dt $$
In questo modo posso risolvere anche il secondo integrale sapendo che la primitiva di 2·cos(2t) è sin(2t)
$$ \frac{\pi}{12} + \frac{1}{4} \cdot [ \sin(2t)]_{0}^{\frac{\pi}{6}} $$
$$ \frac{\pi}{12} + \frac{1}{4} \cdot [ \sin(2 \cdot \frac{\pi}{6}) - \sin(2 \cdot 0)] $$
$$ \frac{\pi}{12} + \frac{1}{4} \cdot [ \sin(\frac{\pi}{3}) - \sin(0)] $$
$$ \frac{\pi}{12} + \frac{1}{4} \cdot \sin(\frac{\pi}{3}) $$
Sapendo che il seno di π/3 è uguale a √3/2
$$ \frac{\pi}{12} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} $$
$$ \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{8} $$
Quindi, l'integrale definito è uguale a
$$ \frac{2 \pi + 3 \sqrt{3} }{24} $$
E così via.
