Esercizio sulle equazioni differenziali 9
Questa equazione differenziale è del secondo ordine
$$ y'' + 4y' + 4y = 0 $$
E' una equazione differenziale lineare omogenea con coefficienti a=1, b=4 e c=4.
Quindi, per risolverla posso usare la tecnica dell'equazione caratteristica.
Scrivo l'equazione caratteristica usando una variabile di comodo t usando i coefficienti a=1, b=4 e c=4.
$$ a \cdot t^2 + b \cdot t + c = 0 $$
$$ 1 \cdot t^2 +4 \cdot t + 4 = 0 $$
$$ t^2 +4t +4 = 0 $$
Risolvo l'equazione di 2° grado
$$ t = \frac{-(4) \pm \sqrt{16-4(1)(4)}}{2} $$
$$ t = \frac{-4 \pm \sqrt{16-16}}{2} $$
$$ t = \frac{-4 \pm \sqrt{0}}{2} $$
$$ t = \frac{-4 \pm 0}{2} $$
$$ t = \begin{cases} \frac{-4+0}{2}=-2 \\ \\ \frac{-4-0}{2}=-2 \end{cases} $$
L'equazione caratteristica ha due soluzioni coincidenti t1=-2 e t2=-2
Essendo due soluzioni coincidenti, la soluzione generale dell'equazione differenziale è
$$ y = c_1e^{t_1x} + x \cdot c_2e^{t_1x} $$
$$ y = c_1e^{-2x} + x \cdot c_2e^{-2x} $$
Dove c1 e c2 sono costanti reali qualsiasi.
E così via.
