Esercizio sulle equazioni differenziali 7
Devo risolvere l'equazione differenziale
$$ y'' - y' - 6y = 0 $$
E' un'equazione del secondo ordine perché la derivata più alta della funzione incognita y è la derivata seconda y''.
Si tratta di un'equazione differenziale lineare omogenea con coefficienti a=1, b=-1 e c=-6.
Pertanto, l'equazione caratteristica rispetto a una variabile ausiliaria t è la seguente
$$ a \cdot t^2 + b \cdot t + c = 0 $$
Sostituisco i coefficienti a=1, b=-1 e c=-6 e ottengo un'equazione di 2° grado.
$$ a \cdot t^2 + b \cdot t + c = 0 $$
$$ 1 \cdot t^2 +(-1) \cdot t + (-6) = 0 $$
Nota. In questo esempio chiamo la variabile ausiliaria t. Qualsiasi altro nome sarebbe andato bene, ad esempio z oppure u. E' soltanto una variabile temporanea usata per calcolare le soluzioni dell'equazione differenziale.
$$ t^2 - t -6 = 0 $$
A questo punto trovo le soluzioni dell'equazione caratteristica.
$$ t = \frac{1 \pm \sqrt{1-4(1)(-6)}}{2} $$
$$ t = \frac{1 \pm \sqrt{1+24}}{2} $$
$$ t = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} $$
$$ t = \frac{1 \pm 5}{2} $$
$$ t = \begin{cases} \frac{1+5}{2}=3 \\ \\ \frac{1-5}{2}=-2 \end{cases} $$
L'equazione caratteristica ha due soluzioni t1=3 e t2=-2
Essendo due soluzioni distinte (t1≠t2) la soluzione dell'equazione differenziale associata è
$$ y = c_1e^{t_1x} + c_2e^{t_2x} $$
Sostituisco t1=3 e t2=-2 e ottengo la soluzione generale dell'equazione differenziale
$$ y = c_1e^{3x} + c_2e^{-2x} $$
Dove c1 e c2 sono due costanti reali qualsiasi.
E così via.
