Esercizio sulle equazioni differenziali 4
Devo risolvere l'equazione differenziale
$$ y''= 6x+2 $$
E' un'equazione differenziale elementare del secondo ordine.
Per risolverla e trovare la funzione incognita y(x) integro due volte l’equazione.
Integro entrambi i membri dell'equazione.
$$ \int y'' \ dx = \int 6x+2 \ dx $$
L'integrale a destra è la primitiva \( 3x^2 + 2x + c_1 \)
$$ \int y'' \ dx = 3x^2+2x + c_1 $$
L'integrale a sinistra è la primitiva y'
$$ y' = 3x^2+2x + c_1 $$
Integro per la seconda volta entrambi i membri
$$ \int y' \ dx = \int 3x^2+2x + c_1 \ dx $$
L'integrale a destra è la primitiva \( x^3 + x^2 + c_1x + c_2 \)
$$ \int y' \ dx = x^3+x^2+x \cdot c_1 + c_2 $$
L'integrale a sinistra è la funzione incognita y
$$ y = x^3+x^2+x \cdot c_1 + c_2 $$
In questo modo trovo la soluzione generale dell'equazione differenziale.
Dove c1 e c2 sono due costanti reali qualsiasi, arbitrarie che non dipendono da x.
E così via.
