Esercizio sulle equazioni differenziali 27
Devo risolvere l'equazione differenziale
$$ y'' - y' = 3 $$
Si tratta di un'equazione differenziale del 2° ordine non omogenea.
Quest'equazione posso risolverla in due modi
Metodo 1
Per risolverla devo calcolare la soluzione generale dell'omogenea e una soluzione particolare, poi sommarle .
1] La soluzione dell'omogenea
L'equazione differenziale omogenea associata è
$$ y'' - y' = 3 $$
Scrivo l'equazione caratteristica usando la variabile ausiliaria z
$$ z^2 - z = 0 $$
Trovo le radici dell'equazione caratteristica
$$ z \cdot (z-1) = 0$$
L'equazione caratteristica ha due soluzioni distinte z1=0 e z2=1.
Pertanto, la soluzione omogenea è
$$ y_o = c_1 e^{0 \cdot x} + c_2e^{1 \cdot x}$$
$$ y_o = c_1 + c_2 e^x$$
2] La soluzione particolare
Per trovare la soluzione particolare uso il metodo della somiglianza.
Il termine noto dell'equazione differenziale completa è 3, quindi non essendoci y nell'equazione la soluzione è del tipo
$$ y_p = Ax $$
Sostituisco yp alla funzione y nell'equazione differenziale completa.
$$ y_p'' - y_p' = 3 $$
La derivata prima y'p = D[Ax] = A
$$ y_p'' - A = 3 $$
La derivata seconda è y''p=D[A]=0
$$ 0 - A = 3 $$
Pertanto A=-3
$$ A=-3 $$
Sostituisco A=-3 nella soluzione particolare
$$ y_p = Ax $$
$$ y_p = -3x $$
Quest'ultima è la soluzione particolare.
3] La soluzione generale
La soluzione generale dell'equazione differenziale è la somma della soluzione omogenea e della soluzione particolare.
$$ y = y_o + y_p $$
Sapendo che yo=c1 + c2ex e yp = -3x
$$ y = c_1 + c_2e^x -3x $$
Quest'ultima è la soluzione generale dell'equazione differenziale iniziale.
Metodo 2
L'equazione differenziale è di secondo grado senza la funzione incognita y=f(x).
$$ y'' - y' = 3 $$
Quindi, posso abbassarla di grado introducendo una variabile ausiliaria u=y'
$$ y'' - u = 3 $$
Se u=y' allora u'=y''
$$ u' - u = 3 $$
Ora l'equazione differenziale è del 1° ordine.
E' un'equazione del tipo u'-A(x)u=B(x) dove A(x)=1, quindi posso risolverla con il metodo del fattore integrante.
$$ M(x) = e^ { A(x) \ dx } = e^ { \int -1 \ dx } = e^{-x} $$
Moltiplico entrambi i membri dell'equazione differenziale per M(x)
$$ M(x) \cdot (u' - u) = M(x) \cdot 3 $$
$$ e^{-x} \cdot (u' - u) = e^{-x} \cdot 3 $$
$$ \frac{u'-u}{e^x} = \frac{3}{ e^x} $$
Il primo membro dell'equazione posso riscriverlo usando la regola del quoziente delle derivate D[f/g]=(f'g-fg')/g2
$$ D( \frac{u}{e^x}) = \frac{3}{ e^x} $$
Integro entrambi i membri
$$ \int D( \frac{u}{e^x}) \ dx = \int \frac{3}{ e^x} \ dx $$
$$ \frac{u}{e^x}= c_1 + 3 \int \frac{1}{ e^x} \ dx $$
$$ \frac{u}{e^x}= c_1 - 3 \frac{1}{ e^x} $$
Moltiplico entrambi i membri per ex
$$ \frac{u}{e^x} \cdot e^x = e^x \cdot [ c_1 - 3 \frac{1}{ e^x} ] $$
$$ u = c_1 e^x - 3 \frac{e^x}{ e^x} $$
$$ u = c_1 e^x - 3 $$
Sapendo che u=y'
$$ y' = c_1 e^x - 3 $$
Integro entrambi i membri
$$ \int y' \ dx = \int c_1 e^x - 3 \ dx $$
$$ y =c_2 + c_1 \int e^x \ dx - 3 \int \ dx $$
$$ y =c_2 + c_1 e^x \ - 3x $$
Il risultato è lo stesso
E così via.
