Esercizio sulle equazioni differenziali

In questo esercizio devo risolvere l'equazione differenziale

$$ x^2y'=xy+y^2 $$

E' un'equazione differenziale del 1° ordine.

Non è un'equazione differenziale lineare e nemmeno un'equazione a variabili separabili.

Esplicito la funzione y' dividendo entrambi i membri dell'equazione per x2

$$ \frac{ x^2y' }{x^2} = \frac{ xy+y^2 }{x^2} $$

$$ y' = \frac{ xy }{x^2} + \frac{ y^2 }{x^2} $$

$$ y' = \frac{ y }{x} + \frac{ y^2 }{x^2} $$

Ora è chiaro che si tratta di un'equazione differenziale omogenea del primo ordine del tipo y'=f(y/x)

Introduco la variabile ausiliaria t=y/x

$$ t = \frac{y}{x} $$

Dalla quale ricavo y e la derivata prima y' rispetto a x

$$ y = t \cdot x $$

$$ y' = D_x[ t \cdot x ] = t'x+t $$

Ora sostituisco y=tx nell'equazione differenziale

$$ y' = \frac{ y }{x} + \frac{ y^2 }{x^2} $$

$$ y' = t + t^2 $$

Poi sostituisco y'=t'x+t nell'equazione differenziale

$$ t'x + t = t + t^2 $$

A questo punto riscrivo nella forma t'=dt/dx

$$ \frac{dt}{dx} \cdot x + t = t + t^2 $$

Semplifico l'equazione eliminando +t da entrambi i membri.

$$ \frac{dt}{dx} \cdot x = t^2 $$

Ora l'equazione posso risolverla con il metodo delle variabili separabili.

Separo le variabili t e x nell'equazione differenziale.

$$ \frac{1}{t^2} \cdot dt = \frac{1}{x} \cdot dx $$

Integro entrambi i membri dell'equazione per le rispettive variabili

$$ \int \frac{1}{t^2} \cdot dt = \int \frac{1}{x} \cdot dx $$

L'integrale a destra si risolve con la primitiva log(x)+c

$$ \int \frac{1}{t^2} \cdot dt = \log(x) + c $$

L'integrale a sinistra si risolve con la primitiva -1/t

$$ \int t^{-2} \cdot dt = \log(x) + c $$

$$ \frac{ \t^{-2+1} } { -2 +1 } = \log(x) + c $$

$$ \frac{ \t^{-1} } { -1 } = \log(x) + c $$

$$ - \frac{ 1 } { t } = \log(x) + c $$

A questo punto reintroduco la variabile y sapendo che t=y/x

$$ - \frac{ 1 } { \frac{y}{x} } = \log(x) + c $$

$$ - \frac{x}{y} = \log(x) + c $$

Esplicito la variabile y

$$ y = - \frac{x}{\log(x) + c} $$

Il risultato è la soluzione generale dell'equazione differenziale.

E così via.

 


 

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