Esercizio sulle equazioni differenziali
In questo esercizio devo risolvere l'equazione differenziale
$$ x^2y'=xy+y^2 $$
E' un'equazione differenziale del 1° ordine.
Non è un'equazione differenziale lineare e nemmeno un'equazione a variabili separabili.
Esplicito la funzione y' dividendo entrambi i membri dell'equazione per x2
$$ \frac{ x^2y' }{x^2} = \frac{ xy+y^2 }{x^2} $$
$$ y' = \frac{ xy }{x^2} + \frac{ y^2 }{x^2} $$
$$ y' = \frac{ y }{x} + \frac{ y^2 }{x^2} $$
Ora è chiaro che si tratta di un'equazione differenziale omogenea del primo ordine del tipo y'=f(y/x)
Introduco la variabile ausiliaria t=y/x
$$ t = \frac{y}{x} $$
Dalla quale ricavo y e la derivata prima y' rispetto a x
$$ y = t \cdot x $$
$$ y' = D_x[ t \cdot x ] = t'x+t $$
Ora sostituisco y=tx nell'equazione differenziale
$$ y' = \frac{ y }{x} + \frac{ y^2 }{x^2} $$
$$ y' = t + t^2 $$
Poi sostituisco y'=t'x+t nell'equazione differenziale
$$ t'x + t = t + t^2 $$
A questo punto riscrivo nella forma t'=dt/dx
$$ \frac{dt}{dx} \cdot x + t = t + t^2 $$
Semplifico l'equazione eliminando +t da entrambi i membri.
$$ \frac{dt}{dx} \cdot x = t^2 $$
Ora l'equazione posso risolverla con il metodo delle variabili separabili.
Separo le variabili t e x nell'equazione differenziale.
$$ \frac{1}{t^2} \cdot dt = \frac{1}{x} \cdot dx $$
Integro entrambi i membri dell'equazione per le rispettive variabili
$$ \int \frac{1}{t^2} \cdot dt = \int \frac{1}{x} \cdot dx $$
L'integrale a destra si risolve con la primitiva log(x)+c
$$ \int \frac{1}{t^2} \cdot dt = \log(x) + c $$
L'integrale a sinistra si risolve con la primitiva -1/t
$$ \int t^{-2} \cdot dt = \log(x) + c $$
$$ \frac{ \t^{-2+1} } { -2 +1 } = \log(x) + c $$
$$ \frac{ \t^{-1} } { -1 } = \log(x) + c $$
$$ - \frac{ 1 } { t } = \log(x) + c $$
A questo punto reintroduco la variabile y sapendo che t=y/x
$$ - \frac{ 1 } { \frac{y}{x} } = \log(x) + c $$
$$ - \frac{x}{y} = \log(x) + c $$
Esplicito la variabile y
$$ y = - \frac{x}{\log(x) + c} $$
Il risultato è la soluzione generale dell'equazione differenziale.
E così via.