Esercizio sulle equazioni differenziali 18
Devo risolvere l'equazione differenziale
$$ y''-2y'-3y=e^{4x} $$
E' un'equazione differenziale lineare non omogenea del 2° ordine
L'equazione differenziale omogenea associata è
$$ ay''+ by' + cy = 0 $$
Con a=1, b=-2 e c=-3
$$ y''-2y'-3y=0 $$
Studio l'equazione caratteristica dell'equazione differenziale omogenea con una variabile ausiliaria t
$$ t^2 -2t -3 = 0 $$
Il determinante dell'equazione caratteristica è positivo.
$$ \Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 16 $$
Quindi, l'equazione caratteristica ha due soluzioni reali distinte tra loro.
$$ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2} = \begin{cases} t_1 = \frac{2-4}{2} = -1 \\ \\ t_2 = \frac{2+4}{2} = 3 \end{cases} $$
La soluzione generale dell'equazione differenziale omogenea è
$$ y_o = c_1 e^{ -x } +c_2e^{ 3x} $$
A questo punto cerco una soluzione particolare yp dell'equazione differenziale usando il metodo della somiglianza.
In questo caso il termine noto è un esponenziale f(x)=e4x
Pertanto, la soluzione particolare deve avere una struttura del tipo yp=Aeλx perché λ=4 non è una soluzione di λ2-2λ-3=0
$$ y_p = A \cdot e^{λ \cdot x} $$
$$ y_p = A\cdot e^{4x} $$
Calcolo la derivata prima e la derivata seconda della soluzione particolare
$$ y_p' = D_x[ A\cdot e^{4x} ] = 4A \cdot e^{4x} $$
$$ y_p'' = D_x[ 4A \cdot e^{4x} ] = 16A \cdot e^{4x} $$
Sostituisco yp, yp' e yp'' nell'equazione differenziale completa
$$ y''-2y'-3y=e^{4x} $$
$$ 16Ae^{4x} - 2 (4Ae^{4x}) - 3 (Ae^{4x}) =e^{4x} $$
$$ 16Ae^{4x} - 8Ae^{4x}) - 3Ae^{4x} =e^{4x} $$
$$ 5Ae^{4x} =e^{4x} $$
Divido entrambi i membri per e4x per ottenere il valore di A
$$ \frac{5Ae^{4x}}{e^{4x}} =\frac{e^{4x}}{e^{4x}} $$
$$ 5A =1 $$
$$ A = \frac{1}{5} $$
Infine sostituisco A=1/5 nella soluzione particolare yp
$$ y_p = A\cdot e^{4x} $$
$$ y_p = \frac{1}{5} \cdot e^{4x} $$
$$ y_p = \frac{e^{4x}}{5} $$
Ora sommo tra loro la soluzione generale dell'omogenea e la soluzione particolare.
$$ y = y_o + y_p $$
$$ y = [ c_1 e^{ -x } +c_2e^{ 3x} ] + \frac{e^{4x}}{5} $$
Il risultato finale è la soluzione generale dell'equazione differenziale iniziale
$$ y = c_1 e^{ -x } +c_2e^{ 3x} + \frac{e^{4x}}{5} $$
E così via
