Esercizio sulle equazioni differenziali 10
Devo risolvere questa equazione differenziale del 2° ordine
$$ y'' - 2y' + y = 0 $$
E' una equazione differenziale lineare omogenea con coefficienti a=1, b=-2 e c=1.
Scrivo la sua equazione caratteristica usando i coefficienti a, b, c e la variabile ausiliaria t.
$$ a \cdot t^2 + b \cdot t + c = 0 $$
$$ 1 \cdot t^2 +(-2) \cdot t + 1 = 0 $$
$$ t^2 -2t +1 = 0 $$
Poi trovo le soluzioni dell'equazione di 2° grado
$$ t = \frac{-(-2) \pm \sqrt{4-4(1)(1)}}{2} $$
$$ t = \frac{2 \pm \sqrt{4-4}}{2} $$
$$ t = \frac{2 \pm \sqrt{0}}{2} $$
$$ t = \begin{cases} \frac{2+0}{2}=1 \\ \\ \frac{2-0}{2}=1 \end{cases} $$
L'equazione caratteristica ha due soluzioni coincidenti t1=1 e t2=1
Pertanto, la soluzione generale dell'equazione differenziale è
$$ y = c_1e^{t_1x} + x \cdot c_2e^{t_1x} $$
$$ y = c_1e^{1 \cdot x} + x \cdot c_2e^{1 \cdot x} $$
$$ y = c_1e^{x} + x \cdot c_2e^{x} $$
Dove c1 e c2 sono costanti reali qualsiasi.
E così via.
