Esercizio sulle equazioni differenziali
Devo risolvere l'equazione differenziale del 1° ordine
$$ xyy'=2x^2+y^2 $$
Esplicito la funzione y' dividendo entrambi i membri dell'equazione per xy
$$ \frac{ xyy' }{xy} = \frac{ 2x^2+y^2 }{xy} $$
$$ y' = \frac{2x^2}{xy} + \frac{y^2}{xy} $$
$$ y' = \frac{2x}{y} + \frac{y}{x} $$
Si tratta di un'equazione differenziale omogenea del tipo y'=f(y/x)
Per risolverla introduco una variabile ausiliaria t=y/x
$$ t = \frac{y}{x} $$
Dalla quale ricavo la funzione y e la derivata prima y' rispetto a x
$$ y = t \cdot x $$
$$ y' = D[ t \cdot x ] = t'x + t $$
A questo punto sostituisco y=tx nell'equazione differenziale
$$ y' = \frac{2x}{y} + \frac{y}{x} $$
$$ y' = \frac{2x}{tx} + \frac{tx}{x} $$
$$ y' = \frac{2}{t} + t $$
Poi sostituisco y'=t'x+t nell'equazione differenziale
$$ t'x+t = \frac{2}{t} + t $$
Semplifico l'equazione eliminando +t da entrambi i membri
$$ t'x = \frac{2}{t} $$
A questo punto riscrivo t' nella notazione dt/dx
$$ \frac{dt}{dx} \cdot x = \frac{2}{t} $$
Ora l'equazione differenziale si può risolvere con il metodo delle variabili separabili.
Separo le due variabili t e x nei due membri dell'equazione.
$$ t \cdot dt = \frac{2}{x} \cdot dx $$
Ora integro entrambi i membri per le rispettive variabili
$$ \int t \cdot dt = \int \frac{2}{x} \cdot dx $$
$$ \int t \cdot dt = 2 \cdot \int \frac{1}{x} \cdot dx $$
L'integrale a destra si risolve con la primitiva log(x)+c
$$ \int t \cdot dt = 2 \cdot \log x + c $$
$$ \int t \cdot dt = 2 \cdot \log x + c $$
L'integrale a sinistra si risolve con la primitiva t2/2
$$ \frac{t^2}{2} = 2 \cdot \log x + c $$
$$ t^2 = 4 \cdot \log x + c $$
Ora reintroduco la variabile y sapendo che t=y/x
$$ (\frac{y}{x})^2 = 4 \cdot \log x + c $$
$$ \frac{y^2}{x^2} = 4 \cdot \log x + c $$
$$ y^2 = x^2 \cdot ( 4 \cdot \log x + c ) $$
$$ y^2 = 4 \cdot x^2 \cdot \log x + c \cdot x^2 $$
Ora calcolo la radice quadrata in entrambi i membri dell'equazione
$$ \sqrt{y^2} = \sqrt{4 \cdot x^2 \cdot \log x + c \cdot x^2} $$
$$ y = \sqrt{4 \cdot x^2 \cdot \log x + c \cdot x^2} $$
Il risultato è la soluzione generale dell'equazione differenziale.
E così via.
