Esercizio equazione differenziale 8
Devo risolvere l'equazione differenziale
$$ y' + y \cdot \sin x = 0 $$
E' un'equazione differenziale del primo ordine.
Posso risolverla seguendo due strade alternative.
Metodo 1
L'equazione differenziale è un'equazione differenziale del tipo y'+f(x)g(y) = 0 con f(x)=sin x e g(y)=y.
$$ y' + y \cdot \sin x = 0 $$
Quindi posso risolverla con il metodo delle variabili separabili.
Esplicito la derivata seconda y''.
$$ y'' = - y \cdot \sin x $$
Poi riscrivo la derivata seconda nella notazione dy"/dx
$$ \frac{dy"}{dx} = - y \cdot \sin x $$
Separo le variabili x e y portando la variabili y al primo membro e la x al secondo membro dell'equazione.
$$ \frac{dy"}{y} = - \sin x \cdot dx $$
Integro entrambi i membri dell'equazione per le rispettive variabili
$$ \int \frac{1}{y} dx = - \int \sin x \ dx $$
L'integrale a destra si risolve con la primitiva -cos(x)+c
$$ \int \frac{1}{y} dx = - ( - \cos(x) ) + c $$
$$ \int \frac{1}{y} dx = \cos(x) ) + c $$
L'integrale a sinistra si risolve con la primitiva log(y)+c
$$ \log y = \cos(x) + c $$
Applico l'esponenziale a entrambi i membri per ottenere la funzione incognita y
$$ e^{ \log y } = e^{ \cos(x) + c } $$
L'esponenziale è la funzione inversa del logaritmo
$$ y = e^{ \cos(x) } \cdot e^c $$
Il termine ec è un valore costante, quindi posso indicarlo semplicemente con la lettera c
Il risultato è la soluzione generale dell'equazione differenziale
$$ y = e^{ \cos(x) } \cdot c $$
Metodo 2
L'equazione differenziale è un'equazione differenziale lineare omogenea del tipo y'+a(x)·y = b(x) con a(x)=sin x e b(x)=0.
$$ y' + y \cdot \sin x = 0 $$
Quindi, posso risolverla con il metodo delle variazioni costanti.
$$ y = e^{ - \int a(x) \ dx} \cdot [ \int b(x) \cdot e^{ \int a(x) \ dx } dx + c ] $$
Sostituisco b(x)=0 e a(x)=sin x.
$$ y = e^{ - \int \sin x \ dx} \cdot [ \int 0 \cdot e^{ \int \sin x \ dx } dx + c ] $$
$$ y = e^{ - \int \sin x \ dx} \cdot [ 0 + c ] $$
$$ y = e^{ - \int \sin x \ dx} \cdot c $$
L'integrale di sin(x) si risolve con la funzione primitiva -cos(x)
$$ y = e^{ - (- \cos x) } \cdot c $$
Il risultato è la soluzione generale dell'equazione differenziale
$$ y = e^{ \cos x } \cdot c $$
Il risultato finale è lo stesso.
E così via.
