Esercizio equazione differenziale 3
In questo esercizio devo risolvere un'equazione del primo ordine
$$ xy' - y = 0 $$
Esplicito la variabile y' in funzione delle altre
$$ y' = \frac{y}{x} $$
Si tratta di un'equazione a variabili separabili con f(x)=1/x e g(y)=y
Riscrivo la derivata prima y' nella notazione dy/dx
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} $$
Poi separo le variabili x e y tra loro
Porto la variabile y al primo membro dell'equazione e la variabile x al secondo membro.
$$ \frac{dy}{y} = \frac{dx}{x} $$
Integro entrambi i membri dell'equazione per le rispettive variabili
$$ \int \frac{dy}{y} = \int \frac{dx}{x} $$
$$ \int \frac{1}{y} \ dy = \int \frac{1}{x} \ dx $$
Il primo integrale si risolve con la primitiva F(y)=log(y)+c1
$$ \log(y) + c_1 = \int \frac{1}{x} \ dx $$
Il secondo integrale si risolve con la primitiva F(x)=log(x)+c2
$$ \log(y) + c_1 = \log(x) + c_2 $$
Le costanti c1 e c2 posso considerarle come un'unica costante c3=c2-c1 che può assumere qualsiasi valore reale
$$ \log(y) = \log(x) + c_3 $$
Porto al primo membro i logaritmi
$$ \log(y) - \log(x) = c_3 $$
Secondo le proprietà dei logaritmi log(y)-log(x)=log(y/x)
$$ \log( \frac{y}{x} ) = c_3 $$
Per eliminare il logaritmo applico l'esponenziale in entrambi i membri dell'equazione
$$ e^{\log( \frac{y}{x} )} = e^{c_3} $$
$$ \frac{y}{x} = e^{c_3} $$
Il numero di Nepero (e) elevato per la costante c3 è un'altra costante c=ec3 che può assumere qualsiasi valore reale.
Quindi per semplicità indico la costante con il termine c
$$ \frac{y}{x} = c $$
A questo punto esplicito la variabile y.
Il risultato è la soluzione generale dell'equazione differenziale.
$$ y = xc $$
Metodo di risoluzione alternativo
L'equazione differenziale precedente si può risolvere anche usando un altro metodo.
$$ xy' - y = 0 $$
Divido entrambi i membri per x
$$ \frac{xy' - y}{x} = \frac{0}{x} $$
$$ y' - \frac{y}{x} = 0 $$
Ottengo un'equazione differenziale lineare del tipo y'+a(x)y=b(x) dove a(x)=-1/x e b(x)=0
Quindi, per risolverla posso applicare la formula di Lagrange
$$ y= e^{-\int a(x) dx} \cdot [ \int b(x) \cdot e^{\int a(x) dx} \ dx + c ] $$
Sostituisco a(x)=-1/x e b(x)=0
$$ y= e^{-\int - \frac{1}{x} dx} \cdot [ \int 0 \cdot e^{\int - \frac{1}{x} dx} \ dx + c ] $$
$$ y= e^{\int \frac{1}{x} dx} \cdot c $$
L'integrale di 1/x è la primitiva F(x)=log x+c
Essendoci già una costante c nell'equazione indico soltanto F(x)=log x.
$$ y= e^{\log x} \cdot c $$
L'esponenziale e il logaritmo sono funzioni inverse. Quindi elog x = x.
$$ y= x \cdot c $$
Il risultato è la soluzione generale dell'equazione differenziale.
E' lo stesso risultato.
E così via
