Esercizio equazione differenziale 12

Devo risolvere l'equazione differenziale

$$ y' - x \cdot \cos x = 0 $$

Si tratta di un'equazione differenziale del primo ordine.

L'equazione rienta nella categoria delle equazioni differenziali a variabili separabili y'+a(x)g(y)=0 con a(x)=-x·cos(x) e g(y)=1

Esplicito la y e la riscrivo nella notazione dt/dx

$$ y' = x \cdot \cos x $$

$$ \frac{dy}{dx} = x \cdot \cos x $$

Separo le variabili x e y nei due membri dell'equazione

$$ dy = x \cdot \cos(x) \cdot \ dx $$

Poi integro entrambi i membri dell'equazione per ricavare la funzione incognita y

$$ \int dy = \int x \cdot \cos(x) \cdot \ dx $$

L'integrale a sinistra è la funzione incognita y

$$ y = \int x \cdot \cos(x) \cdot \ dx $$

L'integrale a destra posso risolverlo con l'integrazione per parti ∫fg'=fg-∫f'g considerando il fattore differenziale g'=cos(x) quindi g=sin(x)

$$ y = x \cdot \sin x - \int 1 \cdot \sin x \ dx $$

$$ y = x \cdot \sin x - \int \sin x \ dx $$

$$ y = x \cdot \sin x - (- \cos x) + c $$

$$ y = x \cdot \sin x + \cos x + c $$

Il risultato finale è la soluzione generale dell'equazione differenziale.

E così via.