Esercizio equazione differenziale 12
Devo risolvere l'equazione differenziale
y′−x⋅cosx=0
Si tratta di un'equazione differenziale del primo ordine.
L'equazione rienta nella categoria delle equazioni differenziali a variabili separabili y'+a(x)g(y)=0 con a(x)=-x·cos(x) e g(y)=1
Esplicito la y e la riscrivo nella notazione dt/dx
y′=x⋅cosx
dydx=x⋅cosx
Separo le variabili x e y nei due membri dell'equazione
dy=x⋅cos(x)⋅ dx
Poi integro entrambi i membri dell'equazione per ricavare la funzione incognita y
∫dy=∫x⋅cos(x)⋅ dx
L'integrale a sinistra è la funzione incognita y
y=∫x⋅cos(x)⋅ dx
L'integrale a destra posso risolverlo con l'integrazione per parti ∫fg'=fg-∫f'g considerando il fattore differenziale g'=cos(x) quindi g=sin(x)
y=x⋅sinx−∫1⋅sinx dx
y=x⋅sinx−∫sinx dx
y=x⋅sinx−(−cosx)+c
y=x⋅sinx+cosx+c
Il risultato finale è la soluzione generale dell'equazione differenziale.
E così via.