Esercizio equazione differenziale 11
Ho la seguente equazione differenziale
$$ 3y^2 \cdot y' + x = 0 $$
E' un'equazione differenziale del primo ordine perché la derivata più alta è la derivata prima y'.
Non è un'equazione lineare perché la funzione incognita è un quadrato y2.
Per risolverla posso ricondurla a un'equazione a variabili separabili.
Divido entrambi i membri per 3y2 per esplicitare la derivata prima y'
$$ \frac{3y^2 \cdot y'}{3y^2} + \frac{x}{3y^2} = \frac{0}{3y^2} $$
$$ y' + \frac{x}{3y^2} = 0 $$
Ora l'equazione differenziale è nella forma y'+a(x)·g(y)=0 dove a(x)=x/3 e g(y)=1/y2.
Quindi posso risolverla con il metodo delle variabili separabili.
Scrivo la derivata prima nella notazione dy/dx
$$ \frac{dy}{dx} + \frac{x}{3y^2} = 0 $$
Poi separo le variabili x e y nei due membri dell'equazione.
$$ \frac{dy}{dx} = - \frac{x}{3y^2} $$
$$ y^2 \cdot dy = - \frac{x}{3} \cdot dx $$
Integro entrambi i membri per la rispettiva variabile
$$ \int y^2 \cdot dy = \int - \frac{x}{3} \cdot dx $$
$$ \int y^2 \cdot dy = - \int \frac{x}{3} \cdot dx $$
L'integrale a destra si risolve con la primitiva x2/6+c
$$ \int y^2 \cdot dy = - ( \frac{x^2}{6} + c ) $$
$$ \int y^2 \cdot dy = - \frac{x^2}{6} - c $$
Essendo c un valore costante che può assumere qualsiasi valore reale, scrivere -c o +c è la stessa cosa
Per semplcità indico la costante c con il segno più
$$ \int y^2 \cdot dy = - \frac{x^2}{6} + c $$
L'integrale a sinistra si risolve con la primitiva y3/3+c
$$ \frac{y^3}{3} = - \frac{x^2}{6} + c $$
Essendoci già una costante c nell'equazione, evito di indicarla due volte.
Semplifico l'equazione moltiplicando entrambi i membri per 3.
$$ \frac{y^3}{3} \cdot 3 = (- \frac{x^2}{6} + c ) \cdot 3 $$
$$ y^3 = - \frac{x^2}{6} \cdot 3 + c \cdot 3 $$
$$ y^3 = - \frac{x^2}{2} + 3c $$
Essendo c un valore costante che può assumere qualsiasi valore reale, scrivere 3c o c è la stessa cosa.
Per semplicità indico la costante usando la lettera c.
$$ y^3 = - \frac{x^2}{2} + c $$
Per ricavare la funzione incognita y calcolo la radice cubica di entrambi i membri.
$$ \sqrt[3]{ y^3 } = \sqrt[3]{ - \frac{x^2}{2} + c } $$
Il risultato è la soluzione generale dell'equazione differenziale.
$$ y = \sqrt[3]{ - \frac{x^2}{2} + c } $$
E così via.
