La decomposizione dello spazio vettoriale
La decomposizione dello spazio vettoriale è la trasformazione di ciascun elemento dello spazio nella somma di due sottospazi vettoriali.
Dato uno spazio vettoriale V sul campo K e due sottospazi vettoriali A e B, se A+B=V allora per ogni v∈V esistono due elementi a∈A e b∈B tali che a+b=v.
$$ se \; A+B=V $$
$$ \forall v \in V \; \rightarrow \; a \in A , b \in B : a+b=v. $$
La decomposizione è unica se i sottospazi vettoriali sono sottospazi supplementari.
$$ A \oplus B = V $$
Dimostrazione
Unicità della decomposizione
Per assurdo ipotizzo che la decomposizione non sia unica e i sottospazi A e B siano supplementari.
Sia v un elemento qualsiasi dello spazio vettoriale.
$$ v \in V $$
Esistono per assurdo due somme uguali a v
$$ a + b = v $$
$$ a' + b' = v $$
con
$$ a,a' \in A $$
$$ b,b' \in B $$
Se le due somme sono uguali a v, allora sono uguali anche tra loro
$$ a+b = a'+b' $$
Raggruppo gli elemento di A nel membro di sinistra e quelli di B a destra
$$ a+a' = b+b' $$
Essendo A un sottospazio vettoriale, la somma a+a' è un elemento di A
Allo stesso modo, essendo B un sottospazio vettoriale, la somma b+b' è un elemento di B
$$ a+a' \in A $$
$$ b+b' \in B $$
Quindi v è compreso nell'intersezione A ⋂ B.
$$ v \in A \cap B $$
Sapendo che nei sottospazi speculari l'intersezione A ⋂ B è uguale al vettore nullo { 0 }.
$$ A \cap B = \{ 0 \} $$
Ne deriva che
$$ v = 0 $$
$$ a+a'=0 $$
$$ b+b'=0 $$
Pertanto
$$ a'=a $$
$$ b'=b $$
Nelle due somme a+b e a'+b gli elementi sono identici.
Pertanto, la decomposizione è unica.