Somma di sottospazi vettoriali
Dato uno spazio vettoriale V sul campo K e due sottospazi A e B di V, la somma A+B dei sottospazi è un sottospazio vettoriale composto dalla somma dei vettori di A e di B. A+B:={→a+→b,→a∈A,→b∈B}A+B:={→a+→b,→a∈A,→b∈B} Pertanto la somma dei sottospazi contiene l'unione dei due sottospazi A∪B⊂A+BA∪B⊂A+B Inoltre, A+B è il più piccolo sottospazio vettoriale che contiene l'unione dei sottospazi A∪B.
La somma di due sottospazi A+B è un sottospazio dello spazio vettoriale V.
E' detto sottoinsieme somma di V.
A+B∈VA+B∈V
Essendo V uno spazio vettoriale beneficia delle proprietà somma degli spazi vettoriali.
A sua volta, la somma dei sottospazi A+B contiene i due sottospazi A e B
A∈A+BA∈A+B
B∈A+BB∈A+B
Inoltre, lo spazio A+B è il più piccolo sottospazio vettoriale di V che contiene sia A che B come sottospazi.
Nota. Non lo è l'unione A∪B perché l'unione di sottospazi non è a sua volta un sottospazio vettoriale.
Dimostrazione
La somma dei sottospazi A+B è un sottospazio vettoriale
Per prima cosa devo dimostrare che la somma dei sottospazi vettoriali è un sottospazio vettoriale.
Osservo preliminarmente che i sottospazi A e B contengono il vettore nullo 0.
Quindi, anche l'insieme A+B contiene il vettore nullo.
→a+→b=→0+→0=→0∈A+B→a+→b=→0+→0=→0∈A+B
Posso quindi procedere a verificare se rispetta le le due proprietà dei sottospazi vettoriali.
1) Proprietà della somma
Prendo due vettori generici u e w di A+B.
→u,→w∈A+B→u,→w∈A+B
Dove u e w sono vettori ottenuti sommando un vettore di A con un vettore di B
→u=→a1+→b1→u=→a1+→b1
→w=→a2+→b2→w=→a2+→b2
con
→a1 , →a2∈A→a1 , →a2∈A
→b1 , →b2∈B→b1 , →b2∈B
La somma dei vettori
→u+→w=(→a1+→b1)+(→a2+→b2)→u+→w=(→a1+→b1)+(→a2+→b2)
Per la proprietà associativa posso riscriverla in questa forma equivalente
→u+→w=(→a1+→a2)+(→b1+→b2)→u+→w=(→a1+→a2)+(→b1+→b2)
La somma dei vettori a1+a2 è un vettore somma che appartiene al sottospazio vettoriale A.
Allo stesso modo la somma dei vettori b1+b2 è un vettore somma del sottospazio B.
→a1+→a2∈A→a1+→a2∈A
→b1+→b2∈B→b1+→b2∈B
La somma di un vettore di A con un vettore di B appartiene all'insieme A+B
→u+→w=(→a1+→a2)+(→b1+→b2)∈A+B→u+→w=(→a1+→a2)+(→b1+→b2)∈A+B
Pertanto, l'insieme A+B è chiuso rispetto alla somma.
E' la prima proprietà dei sottospazi vettoriali.
2) Proprietà del prodotto
Dato uno scalare k di K e la somma u+w di due elementi generici di A+B.
k∈Kk∈K
→u+→w∈A+B→u+→w∈A+B
dove u e w sono vettori ottenuti sommando un vettore di A con un vettore di B
→u=→a1+→b1→u=→a1+→b1
→w=→a2+→b2→w=→a2+→b2
con
→a1,→a2∈A→a1,→a2∈A
→b1,→b2∈B→b1,→b2∈B
Il prodotto tra k e la somma degli elementi
k(→u+→w)=k(→a1+→b2)+k(→a2+→b2)k(→u+→w)=k(→a1+→b2)+k(→a2+→b2)
può essere riscritto
k(→u+→w)=k→a1+k→b1+k→a2+k→b2k(→u+→w)=k→a1+k→b1+k→a2+k→b2
ossia
k(→u+→w)=k(→a1+→a2)+k(→b1+→b2)k(→u+→w)=k(→a1+→a2)+k(→b1+→b2)
dove
k(→a1+→a2)∈Ak(→a1+→a2)∈A
k(→b1+→b2)∈Bk(→b1+→b2)∈B
Quindi
k(→u+→w)∈A+Bk(→u+→w)∈A+B
Il prodotto scalare ka appartiene all'insieme A+B.
Quindi, l'insieme A+B è chiuso rispetto al prodotto.
Anche la seconda proprietà dei sottospazi è soddisfatta.
Poiché sono soddisfatte entrambe le proprietà dei sottospazi vettoriali, ne consegue che la somma di due sottospazi vettoriali è un sottospazio vettoriale.
La somma dei sottospazi A+B contiene l'unione A∪B
A questo punto devo dimostrare che la somma dei sottospazi A+B contiene l'unione dei sottospazi A∪B
Ogni vettore del sottospazio A posso scriverlo come somma del vettore con il vettore nullo
∀→a∈A ⇒→a=→a+→0∀→a∈A ⇒→a=→a+→0
Poiché la somma A+B è un sottospazio vettoriale, allora contiene il vettore nullo.
Quindi, il sottospazio A è contenuto nella somma A+B dei sottospazi
A⊂A+BA⊂A+B
Posso fare la stessa considerazione anche per ogni vettore del sottospazio B
∀→b∈B ⇒→a=→a+→0∀→b∈B ⇒→a=→a+→0
Quindi, anche il sottospazio B è contenuto nella somma A+B dei sottospazi
B⊂A+BB⊂A+B
In conclusione, la somma dei sottospazi A+B contiene tutti i vettori di A e di B, ossia contiene l'unione dei sottospazi A∪B.
A∪B⊂A+BA∪B⊂A+B
Un esempio pratico
Considero lo spazio vettoriale V=R3
V=R3V=R3
e due sottospazi vettoriali
A={→a∈R,→b=0}A={→a∈R,→b=0}
B={→a=0,→b∈R}B={→a=0,→b∈R}
Il sottospazio A contiene i vettori sull'asse delle ascisse.
Il sottospazio B contiene i vettori sull'asse delle ordinate.
Ora considero il sottospazio composto dalla somma dei sottospazi vettoriali A+B
A+BA+B
Il sottospazio somma A+B include al suo interno sia il sottospazio A che il sottospazio B.
Inoltre, essendo un sottospazio include qualsiasi somma tra vettori e qualsiasi prodotto di un vettore per uno scalare ossia tutto il piano.
Il piu' piccolo sottospazio che contiene A e B
La somma degli spazi vettoriali A+B è il più piccolo sottospazio vettoriale di V che contiene l'unione dei sottospazi A∪B.
Dimostrazione
Considero un qualsiasi sottospazio vettoriale L che contiene tutti i vettori di A e B, ossia l'unione dei due sottospazi A∪B.
A∪B⊆LA∪B⊆L
Pertanto, ogni vettore del sottospazio A è contenuto anche in L
∀ a∈A→a∈L∀ a∈A→a∈L
Lo stesso vale per vettori di B
∀ b∈B→b∈L∀ b∈B→b∈L
Essendo L un sottospazio vettoriale, per la definizione di sottospazio, contiene al suo interno anche la somma dei vettori di A e di B
{→a+→b | →a∈A , →b∈B}⊆L{→a+→b | →a∈A , →b∈B}⊆L
Quindi, il sottospazio vettoriale L contiene al suo interno il sottospazio vettoriale A+B
A+B⊆LA+B⊆L
In generale, qualsiasi sottospazio vettoriale che contiene A e B include al suo interno anche la somma A+B.
Pertanto, fra tutti i sottospazi vettoriali che contengono l'unione dei sottospazi A∪B, il sottospazio somma A+B è il più piccolo.
Nota. Il sottospazio della somma dei sottospazi A+B è contenuto in tutti i sottospazi che contengono A e B. Di conseguenza A+B è sicuramente il più piccolo tra tutti i sottospazi che contengono A e B. Inoltre, qualsiasi sottoinsieme più piccolo Z di A+B che contenga A e B A,B⊂Z⊂A+BA,B⊂Z⊂A+B non è un sottospazio perché non soddisfa una delle proprietà dei sottospazi vettoriali in quanto la somma dei vettori di A e B non è un'operazione interna in Z. Di conseguenza, A+B è il sottospazio più piccolo in grado di contenere i sottospazi A e B.
E così via