Somma di sottospazi vettoriali
Dato uno spazio vettoriale V sul campo K e due sottospazi A e B di V, la somma A+B dei sottospazi è un sottospazio vettoriale composto dalla somma dei vettori di A e di B. $$ A+B := \{ \vec{a}+\vec{b}, \vec{a} \in A, \vec{b} \in B \} $$ Pertanto la somma dei sottospazi contiene l'unione dei due sottospazi $$ A∪B \subset A+B $$ Inoltre, A+B è il più piccolo sottospazio vettoriale che contiene l'unione dei sottospazi A∪B.
La somma di due sottospazi A+B è un sottospazio dello spazio vettoriale V.
E' detto sottoinsieme somma di V.
$$ A+B \in V $$
Essendo V uno spazio vettoriale beneficia delle proprietà somma degli spazi vettoriali.
A sua volta, la somma dei sottospazi A+B contiene i due sottospazi A e B
$$ A \in A+B $$
$$ B \in A+B $$
Inoltre, lo spazio A+B è il più piccolo sottospazio vettoriale di V che contiene sia A che B come sottospazi.
Nota. Non lo è l'unione A∪B perché l'unione di sottospazi non è a sua volta un sottospazio vettoriale.
Dimostrazione
La somma dei sottospazi A+B è un sottospazio vettoriale
Per prima cosa devo dimostrare che la somma dei sottospazi vettoriali è un sottospazio vettoriale.
Osservo preliminarmente che i sottospazi A e B contengono il vettore nullo 0.
Quindi, anche l'insieme A+B contiene il vettore nullo.
$$ \vec{a} + \vec{b} = \vec{0} + \vec{0} = \vec{0} \in A+B $$
Posso quindi procedere a verificare se rispetta le le due proprietà dei sottospazi vettoriali.
1) Proprietà della somma
Prendo due vettori generici u e w di A+B.
$$ \vec{u},\vec{w} \in A+B $$
Dove u e w sono vettori ottenuti sommando un vettore di A con un vettore di B
$$ \vec{u} = \vec{a_1} + \vec{b_1} $$
$$ \vec{w} = \vec{a_2} + \vec{b_2} $$
con
$$ \vec{a_1} \ , \ \vec{a_2} \in A $$
$$ \vec{b_1} \ , \ \vec{b_2} \in B $$
La somma dei vettori
$$ \vec{u} + \vec{w} = (\vec{a_1} + \vec{b_1} ) + (\vec{a_2} +\vec{b_2} ) $$
Per la proprietà associativa posso riscriverla in questa forma equivalente
$$ \vec{u} + \vec{w} = (\vec{a_1} + \vec{a_2} ) + ( \vec{b_1} + \vec{b_2} ) $$
La somma dei vettori a1+a2 è un vettore somma che appartiene al sottospazio vettoriale A.
Allo stesso modo la somma dei vettori b1+b2 è un vettore somma del sottospazio B.
$$ \vec{a_1} + \vec{a_2} \in A $$
$$ \vec{b_1}+\vec{b_2} \in B $$
La somma di un vettore di A con un vettore di B appartiene all'insieme A+B
$$ \vec{u} + \vec{w} = ( \vec{a_1} + \vec{a_2} ) + ( \vec{b_1} + \vec{b_2}) \in A+B $$
Pertanto, l'insieme A+B è chiuso rispetto alla somma.
E' la prima proprietà dei sottospazi vettoriali.
2) Proprietà del prodotto
Dato uno scalare k di K e la somma u+w di due elementi generici di A+B.
$$ k \in K $$
$$ \vec{u}+\vec{w} \in A+B $$
dove u e w sono vettori ottenuti sommando un vettore di A con un vettore di B
$$ \vec{u} = \vec{a_1} +\vec{b_1} $$
$$ \vec{w} = \vec{a_2} + \vec{b_2} $$
con
$$ \vec{a_1}, \vec{a_2} \in A $$
$$ \vec{b_1}, \vec{b_2} \in B $$
Il prodotto tra k e la somma degli elementi
$$ k ( \vec{u} + \vec{w} ) = k ( \vec{a_1} + \vec{b_2} ) + k ( \vec{a_2} + \vec{b_2} ) $$
può essere riscritto
$$ k ( \vec{u} + \vec{w} ) = k \vec{a_1} + k \vec{b_1} + k \vec{a_2} + k \vec{b_2} $$
ossia
$$ k ( \vec{u} + \vec{w} ) = k ( \vec{a_1} + \vec{a_2} ) + k ( \vec{b_1} + \vec{b_2} ) $$
dove
$$ k (\vec{a_1}+\vec{a_2}) \in A $$
$$ k (\vec{b_1}+\vec{b_2}) \in B $$
Quindi
$$ k ( \vec{u} + \vec{w} ) \in A+B $$
Il prodotto scalare ka appartiene all'insieme A+B.
Quindi, l'insieme A+B è chiuso rispetto al prodotto.
Anche la seconda proprietà dei sottospazi è soddisfatta.
Poiché sono soddisfatte entrambe le proprietà dei sottospazi vettoriali, ne consegue che la somma di due sottospazi vettoriali è un sottospazio vettoriale.
La somma dei sottospazi A+B contiene l'unione A∪B
A questo punto devo dimostrare che la somma dei sottospazi A+B contiene l'unione dei sottospazi A∪B
Ogni vettore del sottospazio A posso scriverlo come somma del vettore con il vettore nullo
$$ \forall \vec{a} \in A \ \Rightarrow \vec{a} = \vec{a} + \vec{0} $$
Poiché la somma A+B è un sottospazio vettoriale, allora contiene il vettore nullo.
Quindi, il sottospazio A è contenuto nella somma A+B dei sottospazi
$$ A \subset A+B $$
Posso fare la stessa considerazione anche per ogni vettore del sottospazio B
$$ \forall \vec{b} \in B \ \Rightarrow \vec{a} = \vec{a} + \vec{0} $$
Quindi, anche il sottospazio B è contenuto nella somma A+B dei sottospazi
$$ B \subset A+B $$
In conclusione, la somma dei sottospazi A+B contiene tutti i vettori di A e di B, ossia contiene l'unione dei sottospazi A∪B.
$$ A \cup B \subset A+B $$
Un esempio pratico
Considero lo spazio vettoriale V=R3
$$ V = R^3 $$
e due sottospazi vettoriali
$$ A = \{ \vec{a} \in R, \vec{b}=0 \} $$
$$ B = \{ \vec{a} = 0, \vec{b} \in R \} $$
Il sottospazio A contiene i vettori sull'asse delle ascisse.
Il sottospazio B contiene i vettori sull'asse delle ordinate.
Ora considero il sottospazio composto dalla somma dei sottospazi vettoriali A+B
$$ A+B $$
Il sottospazio somma A+B include al suo interno sia il sottospazio A che il sottospazio B.
Inoltre, essendo un sottospazio include qualsiasi somma tra vettori e qualsiasi prodotto di un vettore per uno scalare ossia tutto il piano.
Il piu' piccolo sottospazio che contiene A e B
La somma degli spazi vettoriali A+B è il più piccolo sottospazio vettoriale di V che contiene l'unione dei sottospazi A∪B.
Dimostrazione
Considero un qualsiasi sottospazio vettoriale L che contiene tutti i vettori di A e B, ossia l'unione dei due sottospazi A∪B.
$$ A \cup B \subseteq L $$
Pertanto, ogni vettore del sottospazio A è contenuto anche in L
$$ \forall \ a \in A \rightarrow a \in L $$
Lo stesso vale per vettori di B
$$ \forall \ b \in B \rightarrow b \in L $$
Essendo L un sottospazio vettoriale, per la definizione di sottospazio, contiene al suo interno anche la somma dei vettori di A e di B
$$ \{ \vec{a}+\vec{b} \ | \ \vec{a} \in A \ , \ \vec{b} \in B \} \subseteq L $$
Quindi, il sottospazio vettoriale L contiene al suo interno il sottospazio vettoriale A+B
$$ A+B \subseteq L $$
In generale, qualsiasi sottospazio vettoriale che contiene A e B include al suo interno anche la somma A+B.
Pertanto, fra tutti i sottospazi vettoriali che contengono l'unione dei sottospazi A∪B, il sottospazio somma A+B è il più piccolo.
Nota. Il sottospazio della somma dei sottospazi A+B è contenuto in tutti i sottospazi che contengono A e B. Di conseguenza A+B è sicuramente il più piccolo tra tutti i sottospazi che contengono A e B. Inoltre, qualsiasi sottoinsieme più piccolo Z di A+B che contenga A e B $$ A, B \subset Z \subset A+B $$ non è un sottospazio perché non soddisfa una delle proprietà dei sottospazi vettoriali in quanto la somma dei vettori di A e B non è un'operazione interna in Z. Di conseguenza, A+B è il sottospazio più piccolo in grado di contenere i sottospazi A e B.
E così via