Somma di sottospazi vettoriali

Dato uno spazio vettoriale V sul campo K e due sottospazi A e B di V, la somma A+B dei sottospazi è un sottospazio vettoriale composto dalla somma dei vettori di A e di B. A+B:={a+b,aA,bB}A+B:={a+b,aA,bB} Pertanto la somma dei sottospazi contiene l'unione dei due sottospazi ABA+BABA+B Inoltre, A+B è il più piccolo sottospazio vettoriale che contiene l'unione dei sottospazi A∪B.

La somma di due sottospazi A+B è un sottospazio dello spazio vettoriale V.

E' detto sottoinsieme somma di V.

A+BVA+BV

Essendo V uno spazio vettoriale beneficia delle proprietà somma degli spazi vettoriali.

A sua volta, la somma dei sottospazi A+B contiene i due sottospazi A e B

AA+BAA+B

BA+BBA+B

Inoltre, lo spazio A+B è il più piccolo sottospazio vettoriale di V che contiene sia A che B come sottospazi.

Nota. Non lo è l'unione A∪B perché l'unione di sottospazi non è a sua volta un sottospazio vettoriale.

Dimostrazione

La somma dei sottospazi A+B è un sottospazio vettoriale

Per prima cosa devo dimostrare che la somma dei sottospazi vettoriali è un sottospazio vettoriale.

Osservo preliminarmente che i sottospazi A e B contengono il vettore nullo 0.

Quindi, anche l'insieme A+B contiene il vettore nullo.

a+b=0+0=0A+Ba+b=0+0=0A+B

Posso quindi procedere a verificare se rispetta le le due proprietà dei sottospazi vettoriali.

1) Proprietà della somma

Prendo due vettori generici u e w di A+B.

u,wA+Bu,wA+B

Dove u e w sono vettori ottenuti sommando un vettore di A con un vettore di B

u=a1+b1u=a1+b1

w=a2+b2w=a2+b2

con

a1 , a2Aa1 , a2A

b1 , b2Bb1 , b2B

La somma dei vettori

u+w=(a1+b1)+(a2+b2)u+w=(a1+b1)+(a2+b2)

Per la proprietà associativa posso riscriverla in questa forma equivalente

u+w=(a1+a2)+(b1+b2)u+w=(a1+a2)+(b1+b2)

La somma dei vettori a1+a2 è un vettore somma che appartiene al sottospazio vettoriale A.

Allo stesso modo la somma dei vettori b1+b2 è un vettore somma del sottospazio B.

a1+a2Aa1+a2A

b1+b2Bb1+b2B

La somma di un vettore di A con un vettore di B appartiene all'insieme A+B

u+w=(a1+a2)+(b1+b2)A+Bu+w=(a1+a2)+(b1+b2)A+B

Pertanto, l'insieme A+B è chiuso rispetto alla somma.

E' la prima proprietà dei sottospazi vettoriali.

2) Proprietà del prodotto

Dato uno scalare k di K e la somma u+w di due elementi generici di A+B.

kKkK

u+wA+Bu+wA+B

dove u e w sono vettori ottenuti sommando un vettore di A con un vettore di B

u=a1+b1u=a1+b1

w=a2+b2w=a2+b2

con

a1,a2Aa1,a2A

b1,b2Bb1,b2B

Il prodotto tra k e la somma degli elementi

k(u+w)=k(a1+b2)+k(a2+b2)k(u+w)=k(a1+b2)+k(a2+b2)

può essere riscritto

k(u+w)=ka1+kb1+ka2+kb2k(u+w)=ka1+kb1+ka2+kb2

ossia

k(u+w)=k(a1+a2)+k(b1+b2)k(u+w)=k(a1+a2)+k(b1+b2)

dove

k(a1+a2)Ak(a1+a2)A

k(b1+b2)Bk(b1+b2)B

Quindi

k(u+w)A+Bk(u+w)A+B

Il prodotto scalare ka appartiene all'insieme A+B.

Quindi, l'insieme A+B è chiuso rispetto al prodotto.

Anche la seconda proprietà dei sottospazi è soddisfatta.

Poiché sono soddisfatte entrambe le proprietà dei sottospazi vettoriali, ne consegue che la somma di due sottospazi vettoriali è un sottospazio vettoriale.

La somma dei sottospazi A+B contiene l'unione A∪B

A questo punto devo dimostrare che la somma dei sottospazi A+B contiene l'unione dei sottospazi A∪B

Ogni vettore del sottospazio A posso scriverlo come somma del vettore con il vettore nullo

aA a=a+0aA a=a+0

Poiché la somma A+B è un sottospazio vettoriale, allora contiene il vettore nullo.

Quindi, il sottospazio A è contenuto nella somma A+B dei sottospazi

AA+BAA+B

Posso fare la stessa considerazione anche per ogni vettore del sottospazio B

bB a=a+0bB a=a+0

Quindi, anche il sottospazio B è contenuto nella somma A+B dei sottospazi

BA+BBA+B

In conclusione, la somma dei sottospazi A+B contiene tutti i vettori di A e di B, ossia contiene l'unione dei sottospazi A∪B.

ABA+BABA+B

Un esempio pratico

Considero lo spazio vettoriale V=R3

V=R3V=R3

e due sottospazi vettoriali

A={aR,b=0}A={aR,b=0}

B={a=0,bR}B={a=0,bR}

Il sottospazio A contiene i vettori sull'asse delle ascisse.

Il sottospazio B contiene i vettori sull'asse delle ordinate.

i sottospazi vettoriali

Ora considero il sottospazio composto dalla somma dei sottospazi vettoriali A+B

A+BA+B

Il sottospazio somma A+B include al suo interno sia il sottospazio A che il sottospazio B.

la somma dei sottospazi vettoriali

Inoltre, essendo un sottospazio include qualsiasi somma tra vettori e qualsiasi prodotto di un vettore per uno scalare ossia tutto il piano.

Il piu' piccolo sottospazio che contiene A e B

La somma degli spazi vettoriali A+B è il più piccolo sottospazio vettoriale di V che contiene l'unione dei sottospazi A∪B.

Dimostrazione

Considero un qualsiasi sottospazio vettoriale L che contiene tutti i vettori di A e B, ossia l'unione dei due sottospazi A∪B.

ABLABL

Pertanto, ogni vettore del sottospazio A è contenuto anche in L

 aAaL aAaL

Lo stesso vale per vettori di B

 bBbL bBbL

Essendo L un sottospazio vettoriale, per la definizione di sottospazio, contiene al suo interno anche la somma dei vettori di A e di B

{a+b | aA , bB}L{a+b | aA , bB}L

Quindi, il sottospazio vettoriale L contiene al suo interno il sottospazio vettoriale A+B

A+BLA+BL

In generale, qualsiasi sottospazio vettoriale che contiene A e B include al suo interno anche la somma A+B.

Pertanto, fra tutti i sottospazi vettoriali che contengono l'unione dei sottospazi A∪B, il sottospazio somma A+B è il più piccolo.

Nota. Il sottospazio della somma dei sottospazi A+B è contenuto in tutti i sottospazi che contengono A e B. Di conseguenza A+B è sicuramente il più piccolo tra tutti i sottospazi che contengono A e B. Inoltre, qualsiasi sottoinsieme più piccolo Z di A+B che contenga A e B A,BZA+BA,BZA+B non è un sottospazio perché non soddisfa una delle proprietà dei sottospazi vettoriali in quanto la somma dei vettori di A e B non è un'operazione interna in Z. Di conseguenza, A+B è il sottospazio più piccolo in grado di contenere i sottospazi A e B.

E così via

 


 

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