I sottospazi vettoriali
Cos'è un sottospazio vettoriale
Un sottospazio vettoriale è un sottoinsieme dello spazio vettoriale che soddisfa tutte le proprietà degli spazi vettoriali.
La definizione di sottospazio vettoriale
- Sia V uno spazio vettoriale su un campo K, un sottoinsieme è uno sottospazio vettoriale di V $$ W ⊆ V $$ se valgono le seguenti proprietà:
- Dati due elementi qualsiasi w1 e w2 di W, anche la loro somma w1+w2 appartiene all'insieme W $$ \forall \ \vec{w}_1 \ , \ \vec{w}_2 \ \in \ W \ \Rightarrow \ \vec{w}_1 + \vec{w}_2 \in W $$
- Dato uno scalare λ qualsiasi appartenente al campo K e un elemento qualsiasi w dell'insieme W, anche il prodotto λw appartiene all'insieme W. $$ \forall \ \lambda \in K \ , \ \forall \vec{w} \ \in \ W \ \Rightarrow \ \lambda \cdot \vec{w} \ \in \ W $$
In altri termini, un sottospazio vettoriale è un sottoinsieme chiuso alle operazioni di addizione e di prodotto per uno scalare.
A sua volta anche un sottospazio vettoriale è uno spazio vettoriale.
Quindi, in un sottospazio vettoriale valgono tutte le proprietà degli spazi vettoriali.
Nota. Quest'ultimo aspetto è molto importante perché non tutti i sottoinsiemi di uno spazio vettoriale sono anche sottospazi vettoriali. Per capire se un sottoinsieme è un sottospazio vettoriale oppure no devo verificare se soddisfa le proprietà degli spazi vettoriali.
Come verificare se un sottoinsieme è uno spazio vettoriale
Per capire se un sottoinsieme è anche uno spazio vettoriale, verifico se il sottoinsieme include l'elemento nullo oppure no.
A cosa serve?
L'elemento nullo è una delle proprietà degli spazi vettoriali.
Un sottospazio vettoriale è a sua volta uno spazio vettoriale. Quindi, deve contenere l'elemento nullo.
Se il sottoinsieme non ha un elemento nullo, il sottoinsieme non è un sottospazio vettoriale.
Una volta appurato che il sottoinsieme includa l'elemento nullo, verifico se rispetta le proprietà dei sottospazi vettoriali.
Un sottoinsieme è un sottospazio vettoriale se rispetta le due proprietà dei sottospazi vettoriali.
Quindi, calcolo la somma di due elementi del sottoinsieme e il prodotto scalare di due generici vettori del sottoinsieme W.
Se il risultato della somma e del prodotto scalare appartiene ancora al sottoinsieme W, allora il sottoinsieme è un sottospazio vettoriale. Altrimenti non lo è.
Un esempio pratico
Esempio 1
In questo semplice esempio verifico se un sottoinsieme W è un sottospazio vettoriale.
Esempio 2
In quest'altro esempio analizzo un altro sottoinsieme.
In questo caso l'equazione è uguale a uno e l'esito è completamente diverso.
Altri esempi svolti
Come riconoscere il sottospazio vettoriale tramite il grafico
Posso verificare le proprietà dei sottospazi vettoriali anche osservando la rappresentazione grafica sul piano cartesiano.
Se il sottoinsieme W contiene l'elemento nullo (0,0) il grafico passa per l'origine O.
Nota. E' una condizione necessaria ma non sufficiente. Anche se la retta passa per l'origine non è detto che si tratti di un sottospazio vettoriale. Potrebbe esserlo oppure no.
Se invece il grafico non passa dall'origine, il sottoinsieme W non ha l'elemento nullo.
Quindi il sottoinsieme W non è un sottospazio vettoriale.
Nota. Se la retta non passa per l'origine è inutile qualsiasi altro controllo. Di sicuro il sottoinsieme W non è un sottospazio vettoriale.
Una volta appurato che la retta passa per l'origine, devo verificare se il sottoinsieme W rispetta le due proprietà dei sottospazi.
E' un sottospazio vettoriale se...
Il sottoinsieme W è un sottospazio vettoriale se la somma di due elementi qualsiasi è sempre un punto della retta ( insieme W ).
Inoltre, dato uno scalare e un elemento w qualsiasi, il prodotto scalare è sempre un vettore sulla retta ( insieme W ).
Non è un sottospazio vettoriale se...
Non è un sottospazio vettoriale se la somma w1+w2 determina un vettore al di fuori della retta ( insieme W ).
Oppure, dato un elemento w qualsiasi, il prodotto scalare λw determina un vettore al di fuori della retta ( sottoinsieme W ).
In conclusione, anche l'analisi grafica sul piano consente di scorgere le proprietà dei sottospazi vettoriali.
I sottospazi vettoriali e le combinazioni lineari
Un sottoinsieme W dello spazio vettoriale V è un sottospazio vettoriale di V se anche la sua combinazione lineare con n scalari appartiene a W.
Questa definizione riassume le due caratteristiche dei sottospazi vettoriali, ossia la chiusura rispetto alla somma e al prodotto scalare.
