I sottospazi vettoriali

Cos'è un sottospazio vettoriale

Un sottospazio vettoriale è un sottoinsieme dello spazio vettoriale.

La definizione di sottospazio vettoriale

    Sia V uno spazio vettoriale su un gruppo K, un sottoinsieme W ⊆ V è uno sottospazio vettoriale di V se valgono le seguenti proprietà:

  1. Dati due elementi qualsiasi w1 e w2 di W, anche la loro somma w1+w2 appartiene all'insieme W
    la prima proprietà dei sottospazi vettoriali
  2. Dato uno scalare λ qualsiasi appartenente al campo K e un elemento qualsiasi w dell'insieme W, anche il prodotto λw appartiene all'insieme W.
    la seconda proprietà dei sottospazi vettoriali

In altri termini, un sottospazio vettoriale è un sottoinsieme chiuso alle operazioni di addizione e di prodotto per uno scalare.

A sua volta un sottospazio vettoriale è uno spazio vettoriale.

Quindi, in un sottospazio vettoriale valgono tutte le proprietà degli spazi vettoriali.

Nota. Quest'ultimo aspetto è molto importante perché mi permette di capire rapidamente se un insieme è un sottospazio vettoriale oppure no. In particolar modo, se ha un elemento nullo oppure no.

Come verificare se un sottoinsieme è uno spazio vettoriale

Per capire se un sottoinsieme è anche uno spazio vettoriale, verifico se il sottoinsieme include l'elemento nullo oppure no.

A cosa serve?

L'elemento nullo è una delle proprietà degli spazi vettoriali.

Un sottospazio vettoriale è a sua volta uno spazio vettoriale. Quindi, deve contenere l'elemento nullo.

Se il sottoinsieme non ha un elemento nullo, il sottoinsieme non è un sottospazio vettoriale.

Una volta appurato che il sottoinsieme includa l'elemento nullo, verifico se rispetta le proprietà dei sottospazi vettoriali.

Un sottoinsieme è un sottospazio vettoriale se rispetta le due proprietà dei sottospazi vettoriali.
la prima proprietà dei sottospazi vettoriali
la seconda proprietà dei sottospazi vettoriali

Quindi, calcolo la somma di due elementi del sottoinsieme e il prodotto scalare.

Se il risultato della somma e del prodotto scalare appartiene ancora al sottoinsieme W, allora il sottoinsieme è un sottospazio vettoriale. Altrimenti non lo è.

Un esempio pratico

Esempio 1

In questo semplice esempio verifico se un sottoinsieme W è un sottospazio vettoriale.

un esempio di calcolo

Esempio 2

In quest'altro esempio analizzo un altro sottoinsieme.

In questo caso l'equazione è uguale a uno e l'esito è completamente diverso.

come calcolare se il sottoinsieme è un sottospazio vettoriale

Come riconoscere il sottospazio vettoriale tramite il grafico

Posso verificare le proprietà dei sottospazi vettoriali anche osservando la rappresentazione grafica sul piano cartesiano.

Se il sottoinsieme W contiene l'elemento nullo (0,0) il grafico passa per l'origine O.

questo sottoinsieme ha un elemento nullo

Nota. E' una condizione necessaria ma non sufficiente. Anche se la retta passa per l'origine non è detto che si tratti di un sottospazio vettoriale. Potrebbe esserlo oppure no.

Se invece il grafico non passa dall'origine, il sottoinsieme W non ha l'elemento nullo.

Quindi il sottoinsieme W non è un sottospazio vettoriale.

un caso di sottoinsieme che non passa per l'origine, sicuramente non è un sottospazio vettoriale

Nota. Se la retta non passa per l'origine è inutile qualsiasi altro controllo. Di sicuro il sottoinsieme W non è un sottospazio vettoriale.

Una volta appurato che la retta passa per l'origine, devo verificare se il sottoinsieme W rispetta le due proprietà dei sottospazi.

E' un sottospazio vettoriale se...

Il sottoinsieme W è un sottospazio vettoriale se la somma di due elementi qualsiasi è sempre un punto della retta ( insieme W ).

la somma di due vettori è sempre sulla retta

Inoltre, dato uno scalare e un elemento w qualsiasi, il prodotto scalare è sempre un vettore sulla retta ( insieme W ).

un esempio di prodotto scalare se il sottoinsieme è un sottospazio vettoriale

Non è un sottospazio vettoriale se...

Non è un sottospazio vettoriale se la somma w1+w2 determina un vettore al di fuori della retta ( insieme W ).

la somma degli elementi w1 e w2 determina un vettore al di fuori dell'insieme W (la retta)

Oppure, dato un elemento w qualsiasi, il prodotto scalare λw determina un vettore al di fuori della retta ( sottoinsieme W ).

un esempio di prodotto scalare che determina un vettore al di fuori dell'insieme W, quindi non è un sottospazio vettoriale

In conclusione, anche l'analisi grafica sul piano consente di scorgere le proprietà dei sottospazi vettoriali.

Altri esempi svolti

  1. esercizio 1
  2. esercizio 2
  3. esercizio 3
  4. esercizio 4

I sottospazi vettoriali e le combinazioni lineari

Un sottoinsieme W dello spazio vettoriale V è un sottospazio vettoriale di V se anche la sua combinazione lineare con n scalari appartiene a W.

una definizione alternativa di sottospazio vettoriale

Questa definizione riassume le due caratteristiche dei sottospazi vettoriali, ossia la chiusura rispetto alla somma e al prodotto scalare.



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