Generatori dello spazio vettoriale

Un sistema di generatori è un insieme di vettori S={v1,...,vm} di uno spazio vettoriale V $$ S = \{ v_1 , ... , v_m \} \in \ V $$ che permette di determinare ogni vettore vi∈V dello spazio vettoriale tramite la combinazione lineare dei vettori di S con altrettanti a1,...am ∈ R coefficienti scalari $$ \vec{v}_i=a_1 \vec{v}_1 +...+ a_m \vec{v}_m \ \ \ \forall v_i \in V $$

In pratica, le combinazioni lineari dei vettori S={v1,...,vm} generano tutti i vettori dello spazio vettoriale V.

Per questo i vettori di S sono detti generatori.

Pertanto, dato un insieme S di vettori dello spazio vettoriale V

$$ S = \{ v_1, v_2, ... ,v_n \} $$

Il più piccolo sottospazio vettoriale lineare L(S) che contiene S è uguale allo spazio vettoriale V.

$$ L(S) = V $$

Il numero dei vettori generatori in S può essere finito o infinito, purché sempre inferiore o uguale al numero dei vettori dello spazio vettoriale V.

$$ m \le i $$

In questi appunti indico l'insieme dei vettori generatori con S e il sottospazio vettoriale di S con L(S).

A cosa serve un generatore di spazio vettoriale

Uno spazio vettoriale V può essere composto da infiniti vettori. Per descriverlo non è però necessario elencarli tutti.

Ogni vettore v ∈ V posso scriverlo come combinazione lineare di altri vettori dello spazio vettoriale.

Esempio

$$ v_4 = a_1 v_1 + a_2 v_2 + a_3 v_3 $$ $$ v_5 = a_1 v_1 + a_2 v_2 + a_3 v_3 $$ $$ v_6 = a_1 v_1 + a_2 v_2 + a_3 v_3 $$ $$ \vdots $$

Basta scegliere opportunamente un sottoinsieme finito o infinito di vettori S={v1,..,vm}.

$$ L = \{ v_1 , v_2 , v_3 \} $$

Dalla combinazione lineare dei vettori di S con m numeri scalari αm posso ottenere qualsiasi altro vettore dello spazio vettoriale V.

$$ \forall \ v_i \in V \: \: v = a_1 v_1 + a_2 v_2 + a_3 v_3 $$

Un esempio di generatore

L'intero spazio vettoriale V = R2 nel campo dei numeri reali R può essere generato da due soli vettori.

$$ v_1 = ( 1, 0 ) $$ $$ v_2 = ( 0, 1 ) $$

Questi due vettori sul piano cartesiano R2 sono così rappresentati:

la rappresentazione dei vettori sul piano

Per dimostrare che i vettori v1 e v2 siano generatori dello spazio vettoriale R2, scrivo la loro combinazione lineare con due scalari a1 e a2 appartenenti a R.

$$ v = a_1 v_1 + a_2 v_2 \: \: \: \: \: \: con \: \: a_1=1 , a_2=1 $$

$$ v = 1 ( 1 , 0 ) + 1 ( 0 , 1 ) = $$

$$ v = ( 1 , 0 ) + ( 0 , 1 ) $$

$$ v = ( 1 , 1 ) $$

Questa combinazione lineare genera un altro vettore (v3) dello spazio vettoriale V che punta alle coordinate (1,1).

la combinazione lineare genera un vettore dello spazio vettoriale

Ora modifico la combinazione lineare usando lo scalare a2=2.

$$ v = a_1 v_1 + a_2 v_2 \: \: \: \: \: \: con \: \: a_1=1 , a_2=2 $$

$$ v = 1 ( 1 , 0 ) + 2 ( 0 , 1 ) = $$

$$ v = ( 1 , 0 ) + ( 0 , 2 ) $$

$$ v = ( 1 , 2 ) $$

Il vettore v2 ha raddoppiato la lunghezza mentre v1 è rimasto tale e quale.

Questa combinazione lineare genera un altro vettore (v4) dello spazio vettoriale, diverso dal precedente, che punta alle coordinate (1,2).

un secondo vettore dello spazio vettoriale

In questo modo, modificando gli scalari a1 e a2 dei vettori v1 e v2 posso generare ogni vettore v dello spazio vettoriale V.

Pertanto, posso affermare che v1 e v2 sono un sistema di generatori dello spazio vettoriale R2.

$$ L_R = \{ v_1 , v_2 \} = R^2$$

E così via.

Nota. Il solo vettore v1 non è invece un generatore dello spazio vettoriale V=R2 perché genera soltanto i vettori sulla retta delle ascisse (x). E' quindi soltanto un generatore del sottospazio {x}. Lo stesso si può dire per il vettore v2, preso singolarmente non è un generatore di R2 perché genera vettori solo sulla retta delle ordinate. E' quindi soltanto un generatore del sottospazio {y}.

Esempio 2

Un generatore dello spazio vettoriale può essere composto anche da un solo vettore.

Ad esempio, in uno spazio vettoriale V nel campo K=R dei numeri reali, considero un vettore v qualsiasi non nullo.

$$ \vec{v} \in V $$

Dal punto di vista grafico

il vettore

Il vettore v deve essere non nullo.

$$ \vec{v} \in \vec{0} $$

L'insieme generato dal vettore L(v) è composto dalla combinazione lineare del vettore v con gli scalari k di K

$$ L(v) = \{ k \cdot \vec{v} \} $$

I vettori generati hanno la stessa direzione del vettore generatore, ossia si si trovano sulla stessa retta.

i vettori generati

Quello che cambia è il verso e il modulo (lunghezza) di ciascun vettore.

Nota. Il vettore generatore deve essere non nullo, perché qualsiasi scalare moltiplicato per un modulo pari a zero è sempre zero.

Esempio 3

In generale due vettori v1, v2 non nulli generano un sottospazio vettoriale

$$ \vec{v_1} \ne 0 $$ $$ \vec{v_2} \ne 0 $$

Il sottospazio generato dipende dalla dipendenza o indipendenza lineare tra i due vettori.

  • Se i due vettori sono paralleli $$ \vec{v_1} = k \cdot \vec{v_2} $$ allora il sottospazio vettoriale generato dai due vettori L(v1,v2) si trova sulla rette che contiene i due vettori v1, v2
    il caso di due vettori paralleli
  • Se i vettori non sono paralleli $$ \vec{v_1} \ne k \cdot \vec{v_2} $$ allora il sottospazio vettoriale generato dai due vettori è il piano che contiene i due vettori v1 e v2.
    i vettori non paralleli

Come verificare se i vettori sono generatori

Per verificare se i vettori sono un sistema di generatori dello spazio vettoriale V, devo risolvere il sistema di equazioni della loro combinazione lineare.

Un esempio pratico

Ho due vettori v1=(1,0) e v2=(2,1) nello spazio vettoriale V=R2.

$$ v_1 = (1,1) $$ $$ v_2 = (2,1) $$

Devo capire se sono generatori dello spazio vettoriale V.

La combinazione lineare dei due vettori v1 e v2 è la seguente:

$$ a_1 v_1 + a_2 v_2 $$

$$ a_1 (1,1) + a_2 (2,1) $$

$$ ( a_1 , a_1 ) + (2 a_2 , a_2 ) $$

$$ ( a_1 + 2 a_2 , a_1 + a_2 ) $$

Queste ultime due sono le coordinate di destinazione (x,y) del vettore generato dalla combinazione lineare dei due vettori.

$$ (x,y) = ( a_1 + 2 a_2 , a_1 + a_2 ) $$

Posso riscrivere l'uguaglianza vettoriale sotto forma di sistema di equazioni

$$ \begin{cases} a_1 + 2 a_2 = x \\ a_1 + a_2 = y \end{cases}$$

Se il sistema ammette soluzioni nelle incognite a1 e a2 per ogni possibile valore (x,y), allora i due vettori v1 e v2 sono generatori dello spazio vettoriale V=R2.

Viceversa, se non ammette soluzioni, i due vettori v1 e v2 non sono generatori dello spazio vettoriale V=R2.

Nota. Per dimostrare che il sistema ha delle soluzioni ( una o infinite ) mi basta applicare il teorema di Rouché-Capelli, secondo il quale un sistema di equazioni lineari ha soluzioni se il rango della matrice dei coefficienti A è uguale al rango della matrice completa A|B. In tale caso il sistema ha ∞n-r soluzioni dove r è il rango e n è il numero delle variabili incognite.
il sistema ha soluzioni secondo il teorema di Rouché-Capelli

In questo caso il sistema ammette soluzioni.

E' pertanto un generatore dello spazio vettoriale V.

Verifica

Come ulteriore verifica svolgo i calcoli per trovare la soluzione del sistema.

$$ \begin{cases} a_1 + 2 a_2 = x \\ a_1 = y - a_2 \end{cases}$$

$$ \begin{cases} y - a_2 + 2 a_2 = x \\ a_1 = y - a_2 \end{cases}$$

$$ \begin{cases} y + a_2 = x \\ a_1 = y - a_2 \end{cases}$$

$$ \begin{cases} a_2 = x - y \\ a_1 = y - a_2 \end{cases}$$

$$ \begin{cases} a_2 = x - y \\ a_1 = y - (x-y) \end{cases}$$

$$ \begin{cases} a_2 = x - y \\ a_1 = 2y - x \end{cases}$$

Il sistema è risolto per qualsiasi combinazione di valori di x e y, ossia su tutti i punti del piano cartesiano.

Pertanto, v1 e v2 sono generatori dello spazio vettoriale R2.

Differenza tra sistema di generatori e span lineare

Uno span lineare è un insieme di vettori Sp dello spazio vettoriale V

$$ S_p = \{ v_1,.v_2, ...,v_m \} $$

la cui combinazione lineare è un vettore che appartiene a V.

$$ a_1 v_1 + ... + a_m v_m \in V $$

Ogni combinazione lineare dei vettori dello span Sp appartiene allo spazio vettoriale V.

$$ L(S_p) \subseteq a V $$

Non è però detto che ogni vettore dello spazio vettoriale V sia ottenibile da una combinazione lineare dell'insieme span Sp.

$$ L(S_p) \ne a V $$

Nota. I vettori dello span {v1,...,vn} sono sicuramente dei generatori per un sottospazio L(Sp). Non è detto che lo siano per l'intero spazio vettoriale V.

Viceversa, un sistema di generatori è un insieme S di vettori

$$ S = \{ v_1,.v_2, ...,v_n \} $$

la cui combinazione lineare genera tutti i vettori dello spazio vettoriale V.

$$ L(S) = V $$

Pertanto, un insieme di vettori che forma uno span non è che detto che sia anche un insieme di generatori.

$$ L(S_p) \ne L(S) = V $$

Come ridurre l'insieme di generatori

Un insieme di vettori {v1,...,vm} è un sistema di generatori ma non è detto che sia anche l'insieme più piccolo possibile di generatori dello spazio vettoriale V.

Infatti, dato un sistema di generatori

$$ v = a_1 v_1 + ... + a_m v_m $$

Se aggiungessi un ulteriore vettore vm+1 con uno scalare am+1 = 0, otterrei un altro sistema generatore dello stesso spazio vettoriale V.

$$ v= a_1 v_1 + ... + a_m v_m + a_{m+1} v_{m+1} $$

$$ con \:\:\: a_{m+1} = 0 $$

Pertanto, anche se un insieme di vettori è un sistema di generatori dello spazio vettoriale, potrebbe essere ulteriormente ridotto.

Esempio
un esempio pratico

Come si riduce un sistema di generatori?

Per ridurre un sistema di generatori bisogna eliminare i vettori linearmente dipendenti dagli altri .

Dimostrazione

In un sistema di generatori il vettore vm è linearmente dipendente dagli altri.

$$ v = a_1 v_1 + ... + a_m v_m $$

Quindi, posso riscrivere vm come combinazione lineare degli altri.

$$ v = β _1 v_1 + ... + β _{m-1} v_{m-1} $$

Sostituendo la combinazione lineare nel sistema di generatori

$$ v = a_1 v_1 + ... + a_m ( β _1 v_1 + ... + β _{m-1} v_{m-1} ) $$

$$ v = a_1 v_1 + ... + a_m β _1 v_1 + ... + a_m β _{m-1} v_{m-1} ) $$

$$ v = v_1 ( a_1 + a_m β _1 ) + ... + v_{m-1} ( a_{m-1} + a_m β _{m-1} ) $$

I coefficienti (a1+amβ1 ) ... (am-1+amβm-1 ) sono comunque numeri scalari del campo R.

Quindi posso riscriverli come γ1 , ... , γm-1 R

$$ v = γ _1 v_1 + ... + γ _{m-1} v_{m-1} $$

Il che dimostra che anche { v1, v2 } è un sistema di generatori dello spazio vettoriale V.

E così via.

Esempio
un esempio pratico di riduzione

Differenza tra sistema di generatori e base

Un sistema di generatori è detto base dello spazio vettoriale V se i vettori dell'insieme S $$ S = \{ v_1, v_2, ... , v_n \} $$ sono vettori linearmente indipendenti

Una base è detta anche sistema libero di generatori

Le combinazioni lineari dei vettori dell'insieme S={v1,v2,..,vn} generano tutti i vettori dello spazio vettoriale V

$$ \vec{v}_i=a_1 \vec{v}_1 +...+ a_m \vec{v}_n \ \ \ \forall \ v_i \in V $$

Lo stesso accade nei sistemi di generatori.

Tuttavia, nel caso delle basi, ogni vettore dello spazio vettoriale V è generato da una e una sola combinazione lineare dei vettori dell'insieme S.

Nota. Viceversa, in un sistema di generatori con vettori linearmente dipendenti ogni vettore dello spazio vettoriale V può essere composto da infinite combinazioni dei vettori dell'insieme S.

In questi casi il sistema di generatori è detto base dello spazio vettoriale.

 


 

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