Span lineare

Lo span lineare è un insieme di n vettori v₁,v₂,...,v_n di uno spazio vettoriale V su un campo K che genera un sottospazio vettoriale di V tramite la combinazione lineare con α₁,α₂,...,α_n scalari di K. $$ Span( v_1 ,..., v_n ) = \{ α_1 \cdot v_1 ,..., α_n \cdot v_n \: \: \forall α_i \in K \} $$

Uno span lineare è anche indicato con il simbolo L_k, L o <>

$$ L_k ( v_1 ,..., v_n ) $$ $$ L( v_1 ,..., v_n ) $$ $$ < v_1 ,..., v_n > $$

Lo Span(v₁,...,v_n) è un sottospazio vettoriale dello spazio vettoriale V.

E' chiamato sottospazio vettoriale generato da v₁,...,v_n.

Esempi pratici

Esempio 1

Se un vettore v₁ dello spazio vettoriale V sul campo R² non è nullo ( v₁≠Ø ), allora lo span lineare L(v₁) è l'insieme di tutti i vettori α₁v₁ ∀ α₁∈R che giacciono sulla retta passante per l'origine con direzione v₁.

Ogni valore α₁∈R genera un vettore α₁v₁ sulla retta L_k sulla stessa direzione ma di lunghezza differente e multiplo di v₁.

E' subito evidente anche a colpo d'occhio che L_k è un sottospazio vettoriale di V.

Esempio 2

Dati due vettori v₁ e v₂ dello spazio vettoriale V sul campo R² , allora lo span lineare L_k(v₁,v₂) è l'insieme di tutti i vettori α₁v₁ + α₂v₂ ∀ α₁,α₂∈R che hanno origine sul piano.

Ogni coppia di valori α₁,α₂∈R genera un vettore w= α₁v₁+α₂v₂ con direzione, verso e lunghezza differente.

Se i due vettori non sono paralleli, il vettore w è determinato con la regola del parallelogramma come somma di un multiplo del vettore v₁ e un multiplo del vettore v₂.

Anche in questo caso L_k(v₁+v₂) è un sottospazio vettoriale di V.

Nota. Se i due vettori sono paralleli, si ritorna al caso della retta passante per l'origine. In questo caso, i due vettori hanno la stessa direzione e si trovano sulla stessa retta. Quindi α₁v₁+α₂v₂ sono multipli dello stesso vettore. E' come scrivere α₁v_1. Di fatto se i vettori sono paralleli si ha L(v₁,v₂) = L(v₁).