La somma diretta di sottospazi vettoriali
La somma tra due sottospazi A e B è detta somma diretta, se l'intersezione A⋂B è composta da un vettore nullo.
Dato uno spazio vettoriale V sul campo K, siano A e B due sottospazi di V. Se A⋂B = {0v}, allora la somma è detta diretta. $$ A \oplus B $$
La somma diretta è indicata con il simbolo di un + dentro un cerchio.
Esempi pratici
Ecco due esempi pratici per calcolare e verificare l'esistenza o meno della somma diretta tra due o più sottospazi vettoriali.
Esempio 1
Dato uno spazio vettoriale V nel campo R3, ho questi due sottospazi vettoriali A e B.
$$ A = \{ (x,y,z) \in R^3 , \begin{cases} x=0 \\ y=0 \end{cases} \} $$
$$ B = \{ (x,y,z) \in R^3 , z=0 \} $$
Il sottospazio A è con l'asse z ( blu ) dello spazio a 3 dimensioni.
Il sottospazio B, invece, è il piano (x,y) dello spazio a 3 dimensioni in corrispondenza di z=0 ( piano rosso ).
Se i due sottospazi A e B sono in somma diretta, l'intersezione A⋂B è un insieme composto soltanto dal vettore nullo 0v.
$$ A \cap B=\{0_v\} $$
In questo caso è vero. L'insieme A⋂B include soltanto un'intersezione banale ( origine O ).
Quindi i sottospazi A e B sono in somma diretta tra loro.
$$ A \oplus B $$
Esempio 2
Dato uno spazio vettoriale V nel campo R3, considero due sottospazi vettoriali A e B.
$$ A = \{ (x,y,z) \in R^3 , \begin{cases} x=0 \\ y=0 \end{cases} \} $$
$$ C = \{ (x,y,z) \in R^3 , y=0 \} $$
Il sottospazio A è con l'asse z ( blu ) dello spazio a 3 dimensioni.
Il sottospazio C, invece, è il piano (x,z) dello spazio a 3 dimensioni in corrispondenza di y=0 ( piano rosso ).
Per verificare la somma diretta, calcolo l'intersezione tra A e C
$$ A \cap C=\{ R \} <> \{ 0_v \}$$
L'insieme intersezione A⋂B è composto dagli infiniti punti dell'asse Z ( blu ). E' diverso da { 0v }.
Pertanto, in questo caso i sottospazi A e C non sono in somma diretta tra loro.
E così via.
