Sottospazi supplementari

I sottospazi vettoriali sono detti sottospazi supplementari se sono in somma diretta e la loro somma è uguale all'intero spazio vettoriale.

La definizione di spazi supplementari

Dati due sottospazi A e B dello spazio vettoriale V, sono sottospazi supplementari se
$$ \begin{cases} A \oplus B \\ A + B = V \end{cases} $$

La prima proprietà ( somma diretta ) è un'intersezione banale.

$$A \oplus B => A \cap B = \{ 0_v \} $$

La seconda proprietà afferma che la somma dei sottospazi A+B è uguale all'intero spazio vettoriale V.

$$ A+B = V $$

Quando due sottospazi sono supplementari si scrive

$$A \oplus B = V $$

Per definire gli spazi supplementari devono essere soddisfatte entrambe le proprietà. Una sola delle due non è sufficiente.

La differenza tra somma diretta e somma di sottospazi. La somma diretta è l'insieme intersezione dei due sottospazi composto soltanto dal vettore nullo { 0v }. La somma di due sottospazi è, invece, l'insieme composto dalle somme dei loro elementi.

    Esempi pratici

    In questi esempi verifico se due sottospazi vettoriali sono supplementari oppure no.

    Esempio 1

    Dato uno spazio vettoriale V nel campo R3 e due sottospazi vettoriali A e B.

    $$ A = \{ (x,y,z) \in R^3 ,\begin{cases} x=0 \\ y=0 \end{cases} \} $$

    $$ B = \{ (x,y,z) \in R^3 , z=0 \} $$

    Il sottospazio A è l'asse z ( blu ) nello spazio a 3 dimensioni.

    Il sottospazio B, invece, è il piano (x,y) di colore rosso nello spazio a 3 dimensioni in corrispondenza di z=0.

    la rappresentazione grafica dei due sottospazi

    L'intersezione AVB è un insieme composto soltanto dal vettore nullo 0v ( intersezione banale ).

    $$ A \cap B = \{0_v\} $$

    Quindi i sottospazi A e B sono in somma diretta tra loro.

    $$ A \oplus B $$

    E' la prima condizione degli spazi vettoriali supplementari.

    Ora devo verificare se la somma A+V è uguale allo spazio vettoriale V.

    $$ A+B = V $$

    La somma sposta il piano B in ogni punto dell'asse Z.

    la somma A+C eguaglia lo spazio vettoriale V nelle tre dimensioni (x,y,z)

    Pertanto, la somma A+B eguaglia lo spazio vettoriale V nel campo R3.

    Anche la seconda condizione degli spazi supplementari è soddisfatta.

    Quindi, i sottospazi A e B sono sottospazi supplementari.

    Esempio 2

    Dato uno spazio vettoriale V nel campo R3 e due sottospazi vettoriali A e B.

    $$ A = \{ (x,y,z) \in R^3 ,\begin{cases} x=0 \\ y=0 \end{cases} \} $$

    $$ B = \{ (x,y,z) \in R^3 ,\begin{cases} z=0 \\ y=0 \end{cases} \} $$

    Il sottospazio A è l'asse z ( blu ) mentre il sottospazio B è l'asse x ( rosso ) nello spazio a 3 dimensioni.

    due sottospazi A e C

    L'intersezione A⋂B è banale perché comprende soltanto il vettore nullo 0v.

    $$ A \cap B = \{0_v\} $$

    Quindi i sottospazi A e B sono in somma diretta tra loro.

    $$ A \oplus B $$

    Ora devo verificare se la loro somma A+B eguaglia lo spazio vettoriale V.

    $$ A+B = \{ (x,y) \in R^2 \} $$

    La somma A+B corrisponde al piano (x,z) su due dimensioni (R2).

    la somma dei sottospazi A+B corrisponde al piano (x,z) a due dimensioni

    Non corrisponde allo spazio vettoriale V su tre dimensioni (R3).

    Quindi, pur essendo in somma diretta tra loro, in questo caso i sottospazi A e B non sono sottospazi supplementari.

    Esempio 3

    Dato uno spazio vettoriale V nel campo R3, prendo due sottospazi vettoriali A e B.

    $$ A = \{ (x,y,z) \in R^3 , \begin{cases} x=0 \\ y=0 \end{cases} \} $$

    $$ C = \{ (x,y,z) \in R^3 , y=0 \} $$

    Il sottospazio A è con l'asse z ( blu ) dello spazio a 3 dimensioni.

    Il sottospazio C, invece, è il piano (x,z) dello spazio a 3 dimensioni in corrispondenza di y=0 ( piano rosso ).

    un altro esempio di sottospazi

    Calcolo l'intersezione tra A e C

    $$ A \cap C=\{ R \} <> \{ 0_v \}$$

    L'insieme intersezione A⋂B è composto dagli infiniti punti dell'asse Z ( blu ). E' diverso da { 0v }.

    Pertanto, in questo caso i sottospazi A e C non sono in somma diretta tra loro.

    Non essendo in somma diretta, i sottospazi A+V non sono sottospazi supplementari.

    E' quindi inutile verificare se la somma A+C sia uguale a V.

    E così via.

     


     

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