Riduzione ai minimi termini di una frazione

Come ridurre ai minimi termini una frazione

Una frazione può essere ridotta ai minimi termini dividendo il numeratore e il denominatore per il loro massimo comune divisore MCD. $$ \frac{a}{b} \sim \frac{a:MCD(a,b)}{b:MCD(a,b)} $$

La riduzione ai minimi termini produce una frazione equivalente non ulteriormente semplificabile.

In una frazione ridotta ai minimi termini il numeratore e il denominatore sono numeri co-primi (relativamente primi) perché non hanno divisori in comune diversi da 1.

Nota. Il processo di riduzione ai minimi termini conduce alla massima semplificazione della frazione. Per dimostrare la riduzione ai minimi termini basta citare la proprietà invariantiva delle frazioni e il massimo comune divisore di due numeri.

    Un esempio pratico

    Devo ridurre ai minimi termini la frazione

    $$ \frac{56}{36} $$

    Per calcolare il massimo comune divisore MCD del numeratore (56) e del denominatore (36) scompongo i due numeri in fattori primi

    $$ 56 = 2^3 \cdot 7 $$

    $$ 36 = 2^2 \cdot 3^2 $$

    Poi moltiplico tra loro i fattori primi in comune prendendo quelli con l'esponente più basso.

    In questo caso 56 e 36 hanno un solo fattore primo in comune (2) e l'esponente più basso è 22. Non essendoci altri fattori in comune il massimo comune divisore dei due numeri è 22 ossia 4.

    $$ MCD(56,36)=4 $$

    A questo punto divido il numeratore (56) e il denominatore (36) della frazione per il loro massimo comune divisore (4)

    $$ \frac{56:MCD(56,36)}{36:MCD(56,36)} $$

    $$ \frac{56:4}{36:4} $$

    $$ \frac{14}{9} $$

    Il risultato è la frazione equivalente ridotta ai minimi termini.

    $$ \frac{56}{36} \sim \frac{14}{9} $$

    Quest'ultima frazione non è ulteriormente semplificabile perché 14 e 9 non hanno altri divisori in comune diversi da uno, ossia sono due numeri relativamente primi.

    E' la massima semplificazione possibile della frazione iniziale

    $$ \frac{56}{36} \sim \frac{28}{18} \sim \frac{14}{9} $$

    Nota. I numeri relativamente primi (co-primi o primi tra loro) non vanno confusi con i numeri primi. Un numero primo è divisibile solo per se stesso oltre che per uno. I numeri relativamente primi, invece, sono due numeri che non hanno divisori in comune diversi da uno. Due numeri relativamente primi potrebbero anche non essere numeri primi. Ad esempio, 14 e 9 non sono numeri primi. Presi a coppia 14 e 9 sono invece due numeri relativamente primi.

    E così via.

     


     

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