Frazioni
Una frazione è una coppia ordinata di due numeri a e b di cui il secondo è divero da zero. $$ \frac{a}{b} \ \ \ con \ b \ne 0 $$
I due numeri sono separati dalla linea di frazione.
Il numero al di sopra della linea di frazione è detto numeratore.
Quello al di sotto della linea di frazione è detto denominatore ed è sempre diverso da zero.
Ecco un esempio di frazione
$$ \frac{5}{2} $$
In questo esempio il numero 5 è il numeratore mentre il numero 2 è il denominatore.
La frazione è uguale al quoziente della divisione tra i due numeri
$$ \frac{a}{b} = a:b $$
Ad esempio, la precedente frazione è uguale al quoziente della divisione 5:2 ossia a 2.5
$$ \frac{5}{2} = 5:2 $$
$$ \frac{5}{2} = 2.5 $$
Nota. Il denominatore non può essere mai uguale a zero. Se il denominatore fosse uguale a zero si verificherebbe una divisione per zero ossia un'operazione impossibile da svolgere in matematica. Pertanto, non esistono frazioni con denominatore nullo. Ad esempio $$ \frac{2}{0} = \frac{3}{0} = ... = \text{impossibile} $$ Anche la frazione 0/0 non è ammessa ma per un motivo diverso, questa operazione è indeterminata. $$ \frac{0}{0} = \text{indeterminata} $$ In generale, le frazioni con lo zero al denominatore non hanno significato perché sono operazioni matematiche non valide.
Quando due frazioni composte da numeri diversi hanno lo stesso quoziente sono dette frazioni equivalenti.
$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $$
Ad esempio, le frazioni 4/2 e 10/5 sono frazioni equivalenti perché hanno lo stesso quoziente 2
$$ \frac{4}{2} = \frac{10}{5} = 2 $$
In base al rapporto tra il numeratore e il denominatore le frazioni sono dette
- Frazioni proprie
Le frazioni proprie hanno il numeratore minore del denominatore (a<b). Le frazioni proprie hanno un quoziente compreso tra 0 e 1. $$ \frac{2}{3} \ \Longleftrightarrow \ 2 < 3 $$ - Frazioni improprie
Le frazioni improprie hanno il numeratore maggiore del denominatore (a>b). Le frazioni improprie hanno un quoziente maggiore di 1. $$ \frac{5}{2} \ \Longleftrightarrow \ 5 > 2 $$ - Frazioni apparenti
Nelle frazioni apparenti il numeratore è uguale (a=b) o multiplo del denominatore (a·k=b). Sono dette "apparenti" perché sono frazioni uguali a un numero intero. $$ \frac{6}{2} = \frac{2 \cdot 3}{2} = 3 $$
La riduzione ai minimi termini delle frazioni
Quando il numeratore e il denominatore di una frazione hanno almeno un divisore in comune k, la frazione può essere ridotta in una frazione equivalente dividendo il numeratore e il denominatore per il divisore in comune. $$ \frac{a}{b} = \frac{a:k}{b:k} $$
Se il numeratore e il denominatore della frazione non hanno più divisori in comune, la frazione è detta frazione ridotta ai minimi termini.
Esempio
Nella frazione 16/6 sia il numeratore che il denominatore sono divisibili per due
$$ \frac{16}{6} $$
Quindi posso ridurre la frazione a una frazione equivalente dividendo il numeratore e il denominatore per due
$$ \frac{16}{6} = \frac{16:2}{6:2} = \frac{8}{3} $$
Il risultato è una frazione equivalente 8/3 ossia una frazione uguale allo stesso quoziente.
$$ \frac{16}{6} = \frac{8}{3} $$
In questo caso la frazione 8/3 è anche una frazione ridotta ai minimi termini perché 8 e 3 non hanno divisori in comune.
$$ \frac{8}{3} $$
Nota. Quando due numeri non hanno divisori in comune sono detti primi tra loro o co-primi. Non necessariamente sono numeri primi. Ad esempio, nella frazione 8/3 il numero 8 non è un numero primo.
Note a margine
Alcune note a margine sulle frazioni
- Numeri interi e naturali come casi particolari di frazioni
Ogni numero intero e numero naturale \( n \) può essere rappresentato come una frazione con denominatore uguale a 1. $$ n = \frac{n}{1} \ \ \ \forall \ n \in \mathbb{Z} \ ∨ \ n \in \mathbb{N} $$Ad esempio: $$ 5 = \frac{5}{1} \ \ , \ \ -3 = \frac{-3}{1} \ \ , \ \ 0 = \frac{0}{1} $$
Questa rappresentazione dimostra che i numeri interi e naturali sono casi particolari di numeri razionali, in quanto possono essere scritti nella forma \(\frac{a}{b}\), con \(b \neq 0\).
E così via.
