Frazioni
Una frazione è una coppia ordinata di due numeri a e b di cui il secondo è divero da zero. $$ \frac{a}{b} \ \ \ con \ b \ne 0 $$
I due numeri sono separati dalla linea di frazione.
Il numero al di sopra della linea di frazione è detto numeratore.
Quello al di sotto della linea di frazione è detto denominatore ed è sempre diverso da zero.
Ecco un esempio di frazione
$$ \frac{5}{2} $$
In questo esempio il numero 5 è il numeratore mentre il numero 2 è il denominatore.
La frazione è uguale al quoziente della divisione tra i due numeri
$$ \frac{a}{b} = a:b $$
Ad esempio, la precedente frazione è uguale al quoziente della divisione 5:2 ossia a 2.5
$$ \frac{5}{2} = 5:2 $$
$$ \frac{5}{2} = 2.5 $$
Nota. Il denominatore non può essere mai uguale a zero. Se il denominatore fosse uguale a zero si verificherebbe una divisione per zero ossia un'operazione impossibile da svolgere in matematica. Pertanto, non esistono frazioni con denominatore nullo.
Quando due frazioni composte da numeri diversi hanno lo stesso quoziente sono dette frazioni equivalenti.
$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $$
Ad esempio, le frazioni 4/2 e 10/5 sono frazioni equivalenti perché hanno lo stesso quoziente 2
$$ \frac{4}{2} = \frac{10}{5} = 2 $$
In base al rapporto tra il numeratore e il denominatore le frazioni sono dette
- Frazioni proprie
Le frazioni proprie hanno il numeratore minore del denominatore (a<b). $$ \frac{2}{3} \ \Longleftrightarrow \ 2 < 3 $$ - Frazioni improprie
Le frazioni improprie hanno il numeratore maggiore del denominatore (a>b). $$ \frac{5}{2} \ \Longleftrightarrow \ 5 > 2 $$ - Frazioni apparenti
Nelle frazioni apparenti il numeratore è uguale (a=b) o multiplo del denominatore (a·k=b). Sono dette "apparenti" perché sono frazioni uguali a un numero intero. $$ \frac{6}{2} = \frac{2 \cdot 3}{2} = 3 $$
La riduzione ai minimi termini delle frazioni
Quando il numeratore e il denominatore di una frazione hanno almeno un divisore in comune k, la frazione può essere ridotta in una frazione equivalente dividendo il numeratore e il denominatore per il divisore in comune. $$ \frac{a}{b} = \frac{a:k}{b:k} $$
Se il numeratore e il denominatore della frazione non hanno più divisori in comune, la frazione è detta frazione ridotta ai minimi termini.
Esempio
Nella frazione 16/6 sia il numeratore che il denominatore sono divisibili per due
$$ \frac{16}{6} $$
Quindi posso ridurre la frazione a una frazione equivalente dividendo il numeratore e il denominatore per due
$$ \frac{16}{6} = \frac{16:2}{6:2} = \frac{8}{3} $$
Il risultato è una frazione equivalente 8/3 ossia una frazione uguale allo stesso quoziente.
$$ \frac{16}{6} = \frac{8}{3} $$
In questo caso la frazione 8/3 è anche una frazione ridotta ai minimi termini perché 8 e 3 non hanno divisori in comune.
$$ \frac{8}{3} $$
Nota. Quando due numeri non hanno divisori in comune sono detti primi tra loro o co-primi. Non necessariamente sono numeri primi. Ad esempio, nella frazione 8/3 il numero 8 non è un numero primo.
E così via.
