Come capire se una frazione genera un numero decimale finito o periodico?

Per capire quale tipo di numero decimale può generare una frazione, devo prima ridurre la frazione ai minimi termini.

Poi scompongo il denominatore in fattori primi.

• Se i fattori primi sono soltanto potenze di 2 e/o 5, il numero decimale generato dalla frazione è finito, ossia ha un numero finito di cifre decimali.

  Ad esempio, considero la frazione $ \frac{7}{20} $, scompongo il denominatore in fattori primi $$ \frac{7}{20} = \frac{7}{2^2 \cdot 5} $$ Poiché i fattori primi sono potenze di 2 e 5, posso concludere che il quoziente è un numero decimale finito. $$ \frac{7}{20} = \frac{7}{2^2 \cdot 5} = 0.35 $$ Il numero di cifre della parte decimale è uguale all'esponente più alto dei fattori primi 2 e/o 5 al denominatore. In questo caso l'esponente più alto è due ( $ 2^2 $ ) quindi la parte decimale è composta da due cifre.

• Se i fattori primi del denominatore sono esclusivamente diversi da 2 e 5, la frazione genera un numero decimale periodico semplice, caratterizzato da un gruppo di cifre (il periodo) che si ripete all'infinito nella parte decimale.

  Ad esempio, considero la frazione \( \frac{6}{21} \). Scompongo il denominatore nei suoi fattori primi: $$ \frac{6}{21} = \frac{6}{3 \cdot 7} $$ Poiché il denominatore contiene i fattori primi \(3\) e \(7\), si può concludere che il quoziente sarà un numero decimale periodico semplice: \[ \frac{6}{21} = \frac{6}{3 \cdot 7} = 0.\overline{285714} \] 

• Se i fattori primi del denominatore includono il 2 e/o il 5, oltre ad altri fattori primi, la frazione genera un numero decimale periodico misto. In questo caso, la parte decimale è composta da un antiperiodo (un gruppo di cifre non ripetitive) seguito da un periodo (un gruppo di cifre che si ripete ciclicamente).

  Ad esempio, considero la frazione \( \frac{7}{12} \). Il denominatore ha come fattori primi le potenze di 2 e 3. Quindi, la frazione genera un numero decimale periodico misto. $$ \frac{7}{12} = \frac{7}{2^2 \cdot 3} = 0.58333333333 $$ In questo caso 58 è l'antiperiodo mentre 3 è il periodo della parte decimale. Da notare che l'analisi dei fattori mi permette anche di stabilire il numero di cifre dell'antiperiodo, prima ancora di svolgere la divisione. L'esponente più alto nei fattori primi 2 e 5 al denominatore corrisponde alle cifre dell'antiperiodo. In questo caso l'esponente più alto è due ( $ 2^2  $ ) quindi ci sono due cifre nell'antiperiodo (58). 

E così via.