Come confrontare le frazioni
Esistono vari metodi per confrontare due frazioni e stabilire se una delle frazioni è maggiore, minore o uguale all'altra.
Le frazioni hanno lo stesso denominatore
Se le frazioni hanno lo stesso denominatore basta confrontare i numeratori delle frazioni.
E' il caso più semplice.
Esempio
Queste frazioni hanno lo stesso denominatore
$$ \frac{3}{5} \ , \ \frac{7}{5} $$
Confrontando i numeratori tra loro ottengo 3<7
Quindi, la prima frazione è minore rispetto alla seconda.
$$ \frac{3}{5} \ < \ \frac{7}{5} $$
Le frazioni hanno il denominatore diverso
In questo caso si sono due metodi per confrontarle
A] Riduzione al minimo denominatore comune
Se le frazioni hanno il denominatore differente riduco le due frazioni al minimo denominatore comune tramite il calcolo del minimo comune multiplo.
Dopo aver ottenuto lo stesso denominatore, confronto i numeratori delle frazioni equivalenti tra loro
Esempio
Queste due frazioni hanno il denominatore differente
$$ \frac{6}{5} \ , \ \frac{7}{4} $$
Il minimo comune multiplo di 5 e 4 è il numero 20
Applico la proprietà invariantiva delle frazioni per trasformare le due frazioni in due frazioni equivalenti con il denominatore uguale a 20
$$ \frac{6 \cdot 4}{5 \cdot 4} \ , \ \frac{7 \cdot 5}{4 \cdot 5} $$
$$ \frac{24}{20} \ , \ \frac{35}{20} $$
Ora il denominatore è lo stesso e posso confrontare tra loro i numeratori 24 e 35 delle due frazioni.
La prima frazione è minore perché 24 < 35
$$ \frac{24}{20} \ < \ \frac{35}{20} $$
Pertanto, la stessa relazione d'ordine vale anche per la frazione equivalente iniziale
$$ \frac{6}{5} \ < \ \frac{7}{4} $$
Nota. Quando i numeri al numeratore e al denominatore delle frazioni sono molto alti, il calcolo del minimo comune multiplo può diventare molto lungo. In questi casi è preferibile confrontare le due frazioni tramite il metodo del prodotto in croce.
B] Il prodotto in croce
Un altro metodo per confrontare due frazioni è il prodotto in croce
Date due frazioni $$ \frac{a}{b} \ , \ \frac{c}{d} $$ calcolo il prodotto sulla diagonale principale (a·d) e il prodotto sulla diagonale secondaria (b·c).
Se il prodotto sulla diagonale principale è maggiore rispetto al prodotto sulla diagonale secondaria, allora la prima frazione è maggiore dell'altra.
$$ a \cdot d > b \cdot c \Longrightarrow \frac{a}{b} > \frac{c}{d} $$
E viceversa
Attenzione. Nel prodotto in croce se una o entrambe le frazioni sono frazioni negative, il segno meno va attributo sempre al numeratore. $$ - \frac{a}{b} \ , \ \frac{c}{d} \Longrightarrow \frac{-a}{b} \ , \ \frac{c}{d} $$
Esempio 1
Considero le frazioni dell'esempio precedente
$$ \frac{6}{5} \ , \ \frac{7}{4} $$
Senza calcolare il minimo denominatore comune, calcolo e confronto il prodotto della diagonale principale con il prodotto della diagonale secondaria
$$ 6 \cdot 4 \ , \ 5 \cdot 7 $$
$$ 24 \ , \ 35 $$
Il prodotto sulla diagonale principale (24) è minore rispetto al prodotto sulla diagonale secondaria (35)
$$ 24 \ < \ 35 $$
Quindi, la prima frazione è minore
$$ \frac{6}{5} \ < \ \frac{7}{4} $$
Esempio 2
In questo confronto una frazione è negativa
$$ -\frac{4}{3} \ , \ \frac{6}{5} $$
Prima di procedere associo il segno meno della frazione negativa al suo numeratore
$$ \frac{-4}{3} \ , \ \frac{6}{5} $$
Poi calcolo la diagonale principale e la diagonale secondaria
$$ -4 \cdot 5 \ , \ 3 \cdot 6 $$
$$ -20 \ , \ 18 $$
La diagonale principale (-20) è minore rispetto alla diagonale secondaria (18)
$$ -20 \ < \ 18 $$
Quindi la prima frazione è minore
$$ -\frac{4}{3} \ < \ \frac{6}{5} $$
Esempio 3
In questo caso entrambe le frazioni sono frazioni negative
$$ -\frac{4}{3} \ , \ - \frac{6}{5} $$
Associo il segno meno ai numeratori delle frazioni
$$ \frac{-4}{3} \ , \ \frac{-6}{5} $$
Poi calcolo il prodotto sulla diagonale principale e sulla diagonale secondaria
$$ -4 \cdot 5 \ , \ 3 \cdot (-6) $$
$$ -20 \ , \ -18 $$
Il prodotto sulla diagonale principale (-20) è minore rispetto al prodotto sulla diagonale secondaria (-18)
$$ -20 \ < \ -18 $$
Quindi, la prima frazione è minore
$$ -\frac{4}{3} \ < \ - \frac{6}{5} $$
Nota. Il metodo del prodotto in croce è senza dubbio il metodo più rapido per confrontare due frazioni. Bisogna solo far attenzione ad attribuire il segno meno, se è presente, sempre al numeratore delle frazioni.
E così via.
