Le frazioni apparenti
Una frazione è detta frazione apparente quando può essere ridotta a un numero intero. $$ \frac{a}{b} = \frac{c}{1} = c \in Z $$ Dove Z è l'insieme dei numeri interi.
Le frazioni apparenti sono frazioni equivalenti a un'altra frazione appartenente alla stessa classe di equivalenza ma con denominatore uguale a uno.
In generale, ogni numero intero è una frazione apparente e viceversa.
Perché sono dette frazioni apparenti? Questo tipo di frazioni sono dette "apparenti" perché sembrano/appaiono una frazione. In realtà, posso sempre semplificarle sostituendole con un intero.
Come riconoscere una frazione apparente?
Nelle frazioni apparenti il numeratore è uguale al denominatore (a=b)
$$ \frac{a}{b} $$
oppure è un multiplo del denominatore (a·k=b)
$$ \frac{a \cdot k}{b} \ \ \ con \ a=b $$
Esempio. Nella frazione precedente il numeratore (6) è un multiplo del denominatore (3) con k =2 $$ \require{cancel} \frac{6}{3} = \frac{ 3 \cdot 2 }{ 3 } = \frac{ \cancel{3} \cdot 2}{ \cancel{3} } = 2 $$ Una volta ridotto in fattori primi sia il numeratore che il denominatore, semplifico i fattori comuni e ottengo un quoziente intero.
Esempio pratico
Ecco un esempio pratico di frazione apparente
$$ \frac{6}{3} $$
Il massimo comune divisore (MCD) del numeratore e del denominatore è uguale a 3.
$$ MCD(6,3) = 3 $$
Quindi, posso ridurre ai minimi termini la frazione in una frazione equivalente dividendo sia il numeratore che il denominatore per il loro massimo comune divisore (3)
$$ \frac{6}{3} = \frac{ \frac{6}{3} }{ \frac{3}{3} } $$
$$ \frac{6}{3} = \frac{ \frac{6}{3} }{ \frac{3}{3} } = \frac{2}{1} $$
Sapendo che ogni frazione con denominatore uguale a uno è un numero intero
$$ \frac{6}{3} = \frac{ \frac{6}{3} }{ \frac{3}{3} } = \frac{2}{1} = 2 $$
In conclusione la frazione 6/3 è associata al numero intero 2
$$ \frac{6}{3} = \frac{2}{1} = 2 $$
Altri esempi di frazioni apparenti
Sono frazioni apparenti anche le seguenti frazioni
$$ \frac{12}{4} = 3 $$
$$ \frac{33}{3} = 11 $$
$$ \frac{4}{4} = 1 $$
$$ \frac{8}{4} = 2 $$
$$ \frac{-6}{6} = -1 $$
Dimostrazione
Ogni frazione apparente è un numero intero e viceversa $$ \forall \ a,b \in Z \ , \ b = 1 \Longleftrightarrow \frac{a}{b} \in Z $$
Dati due numeri interi a,b∈Z che compongono una frazione con b≠0
$$ \frac{a}{b} \ \ \ a,b \in Z \ , \ b \ne 0 $$
Se il denominatore è uguale a uno (b=1), allora la frazione è una frazione apparente, perché il quoziente è uguale al numeratore
$$ \forall \ a \in Z \Rightarrow \frac{a}{1} = a \in Z $$
Allo stesso modo, ogni numero intero c∈Z posso scriverlo con una frazione, scrivendo il numero stesso (c) al numeratore e il numero 1 al denominatore
$$ \forall \ c \in Z \Rightarrow c=\frac{a}{b} \in Z \ , \ a=c \ , \ b=1 $$
Quindi, posso concludere affermando che ogni frazione apparente è un numero intero e viceversa.
E così via.
