La semplificazione di una frazione
Come si semplifica una frazione
Una frazione può essere semplificata dividendo il numeratore e il denominatore per uno stesso numero. $$ \frac{a}{b} \sim \frac{a:k}{b:k} $$
La frazione semplificata è una frazione equivalente alla frazione iniziale perché hanno in comune lo stesso quoziente.
Esempio. La frazione 8/4 $$ \frac{8}{4} $$ può essere semplificata dividendo per due il numeratore e il denominatore. $$ \frac{8:2}{4:2} = \frac{4}{2} $$ Il risultato è una frazione equivalente alla precedente. $$ \frac{8}{4} \sim \frac{4}{2} $$ Le due frazioni 8/4 e 4/2 sono frazioni equivalenti perché hanno lo stesso quoziente $$ \frac{8}{4} = 8:4 = 2 $$ $$ \frac{4}{2} = 4:2 = 2 $$
Una frazione è detta ridotta ai minimi termini quando il numeratore e il denominatore non hanno divisori in comune diversi da 1, ossia quando sono co-primi.
Per ridurre ai minimi termini una frazione basta dividere il numeratore e il denominatore per il massimo comune divisore dei due numeri.
$$ \frac{a}{b} \sim \frac{a:MCD(a,b)}{b:MCD(a,b)} $$
Nota. Per ridurre ai minimi termini la frazione $$ \frac{9}{12} $$ calcolo il massimo comune divisore MCD(9,12) del numeratore e del denominatore $$ MCD(9,12)=3 $$ Poi divido il numeratore e il denominatore della frazione per il massimo comune divisore (3). $$ \frac{9:MCD(9,12)}{12:MCD(9,12)} = \frac{9:3}{12:3} = \frac{3}{4} $$ Il risultato finale è la frazione ridotta ai minimi termini perché non ulteriormente semplificabile. $$ \frac{9}{12} \sim \frac{3}{4} $$
La semplificazione delle frazioni si dimostra citando la proprietà invariantiva delle frazioni.
Un esempio pratico
Considero la frazione
$$ \frac{32}{28} $$
Entrambi i due numeri sono divisibili per 2
Per semplificare la frazione divido per il divisore comune (2) sia il numeratore che il denominatore
$$ \frac{32:2}{28:2} $$
Il risultato è una frazione equivalente alla precedente, detta "semplificata" perché i numeri al numeratore e al denominatore sono più piccoli.
$$ \frac{16}{14} $$
La nuova frazione è ulteriormente semplificabile perché il numeratore e il denominatore sono divisibili per due.
Quindi, divido ancora per due sia il numeratore che il denominatore della frazione.
$$ \frac{16:2}{14:2} $$
Il risultato è un'altra frazione equivalente semplificata.
$$ \frac{8}{7} $$
Quest'ultima frazione è anche detta ridotta ai minimi termini perché il numeratore (8) e il denominatore (7) non hanno divisori in comune diversi da 1.
I numeri 8 e 7 sono numeri co-primi (o relativamente primi).
Nota. Per ridurre una frazione ai minimi termini senza compiere tutti i passaggi precedenti basta calcolare il massimo comune divisore del numeratore e del denominatore.
Esempio 2
Devo ridurre ai minimi termini la frazione
$$ \frac{32}{28} $$
Calcolo il massimo comune divisore del numeratore (32) e del denominatore (28)
$$ MCD(32,28) = 4 $$
Nota. Per calcolare il massimo comune divisore scompongo i due numeri in fattori primi $$ 32 = 2^5 $$ $$ 28 = 2^2 \cdot 7 $$ Poi moltiplico tra loro i fattori primi in comune prendendo quelli con l'esponente più basso. In questo caso 32 e 28 hanno un solo fattore primo in comune (2) e l'esponente più basso è 22. Non essendoci altri fattori in comune il massimo comune divisore dei due numeri è 22 ossia 4. $$ MCD(32,28)=4 $$
A questo punto divido il numeratore (32) e il denominatore (28) della frazione per il loro massimo comune divisore (4)
$$ \frac{32:MCD(32,28)}{28:MCD(32,28)} $$
$$ \frac{32:4}{28:4} $$
$$ \frac{8}{7} $$
Il risultato finale è la frazione equivalente ridotta ai minimi termini.
Nota. Il risultato è la stessa frazione a cui sono giunto nell'esempio precedente dividendo il numeratore e il denominatore della frazione passo dopo passo. In questo caso ho però ottenuto la riduzione ai minimi termini in un solo passaggio dopo il calcolo del massimo comune divisore. Quando i numeri al numeratore e al denominatore della frazione sono molto alti, questo secondo metodo riduce di molto i calcoli ed evita il rischio degli errori di distrazione.
E così via.
