Frazioni equivalenti

Due frazioni sono equivalenti $$ \frac{a}{b} \sim \frac{c}{d} $$ se il prodotto tra il numeratore della prima frazione per il denominatore della seconda è uguale al prodotto tra il numeratore della seconda frazione per il denominatore della prima. $$ a \cdot d = b \cdot c $$

In altre parole, due frazioni sono equivalenti se hanno lo stesso quoziente.

$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $$

Per indicare l'equivalenza tra due frazioni uso il simbolo tilde

$$ \frac{a}{b} \sim \frac{c}{d} $$

Esempio. Queste due frazioni sono equivalenti $$ \frac{10}{5} \sim \frac{8}{4} $$

Come capire se due frazioni sono equivalenti

Per verificare se due frazioni sono equivalenti posso seguire due strade alternative

• Verifico se i quozienti dei due rapporti sono uguali
  Calcolo i quozienti dei rapporti delle due frazioni e verifico se sono uguali. $$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $$

  Esempio. Le seguenti frazioni sono equivalenti $$ \frac{10}{5} \sim \frac{8}{4} $$ perché hanno lo stesso quoziente $$ 10:5 = 8:4 $$ $$ 2 = 2 $$

• Calcolo il prodotto in croce
  Calcolo il prodotto tra il numeratore della prima per il denominatore della seconda frazione e verifico se è uguale al prodotto tra il numeratore della seconda per il numeratore della prima frazione. $$ a \cdot d = b \cdot c $$

  Esempio. Le seguenti frazioni sono equivalenti $$ \frac{10}{5} \sim \frac{8}{4} $$ perché il prodotto in croce è uguale $$ 10 \cdot 4 = 8 \cdot 5 $$ $$ 40 = 40 $$

Qual è la via migliore?

E' senza alcun dubbio preferibile il prodotto in croce perché spesso la moltiplicazione si può fare anche a mente.

In generale, salvo i casi più banali, la divisione è più complessa e richiede più operazioni di calcolo.

Un esempio pratico

Esempio 1

Ho le seguenti frazioni e devo verificare se sono equivalenti oppure no

$$ \frac{9}{2} $$

$$ \frac{27}{6} $$

Il quoziente della prima frazione 9:2 si può fare a mente 9:2=4.5 ma quello della seconda frazione 27/6 non è immediato.

Pertanto, per capire se sono frazioni equivalenti svolgo e verifico il prodotto in croce

$$ 9 \cdot 6 = 27 \cdot 2 $$

Con la conoscenza delle tabelline e senza calcolatrice calcolo i due prodotti

$$ 54 = 54 $$

L'identità è vera.

Quindi, le due frazioni sono frazioni equivalenti.

$$ \frac{9}{2} \sim \frac{27}{6} $$

Nota. In questo caso esempio banale l'equivalenza si poteva verificare anche a occhio. Sia 27 che 6 sono multipli di tre di 9 e 2. $$ \frac{27}{6} = \frac{9 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{9}{2} $$

Esempio 1

Verifico se queste due frazioni sono equivalenti oppure no

$$ \frac{27}{7} $$

$$ \frac{23}{6} $$

Per capirlo svolgo il prodotto in croce

$$ 27 \cdot 6 = 23 \cdot 7 $$

Nota. Le due moltiplicazioni si possono svolgere anche a mente suddividendo i prodotti in somme di prodotti più semplici. $$ 27 \cdot 6 = 23 \cdot 7 $$ $$ 20 \cdot 6 + 7 \cdot 6 = 20 \cdot 7 + 3 \cdot 7 $$ $$ 120 + 42 = 140 + 21 $$ $$ 162 = 161 $$

$$ 162 = 161 $$

In questo caso l'identità è falsa.

Quindi, le due frazioni non sono frazioni equivalenti.

Le classi di equivalenza

Tutte le frazioni equivalenti che individuano lo stesso numero razionale appartengono alla stessa classe di equivalenza.

Per ciascuna classe di equivalenza si prende come rappresentante della classe la frazione ridotta ai minimi termini.

Ad esempio, queste frazioni equivalenti appartengono a una classe di equivalenza

$$ \frac{1}{2} = \{ \ \frac{1}{2} \ , \ \frac{2}{4} \ , \ \frac{4}{8} \ , \ \frac{8}{16} \ , \ ... \} $$

La frazione rappresentante della classe di equivalenza è quella ridotta ai minimi termini

Queste altre frazioni equivalenti appartengono a un'altra classe di equivalenza

$$ \frac{1}{3} = \{ \ \frac{1}{3} \ , \ \frac{2}{6} \ , \ \frac{4}{12} \ , \ \frac{8}{24} \ , \ ... \} $$

La frazione rappresentante della classe di equivalenza è quella ridotta ai minimi termini

Le percentuali

Quando una frazione equivalente ha il denominatore uguale a 100 è detta percentuale.

Ad esempio, questa frazione è una percentuale perché ha denominatore uguale a cento

$$ \frac{25}{100} $$

Spesso le percentuali sono scritte indicando il numeratore seguito dal simbolo %

$$ \frac{25}{100} = 25 \% $$

Nota. Se la frazione equivalente ha il denominatore uguale a 1000 è invece detta millesimale. Ad esempio $$ \frac{25}{1000} = 25 ‰ $$ In questo caso si usa il simbolo ‰.

Esempio 2

Queste frazioni appartengono alla stessa classe di equivalenza della frazione precedente ma non sono percentuali perché il denominatore è diverso da cento

$$ \frac{1}{4} \ , \ \frac{2}{8} \ , \ \frac{3}{12} \ , \ \frac{4}{16} \ , \ \frac{5}{20} \ , \ \frac{6}{24} \ , \ \dots $$

E così via.