Il prodotto in croce
Il prodotto in croce di due frazioni equivalenti è l'uguaglianza tra il prodotto del numeratore della prima frazione per il denominatore della seconda frazione con il prodotto del numeratore della seconda frazione per il denominatore della prima frazione. $$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Longleftrightarrow a \cdot d = b \cdot c $$
In una proporzione il prodotto in croce è l'uguaglianza tra il prodotto dei termini medi con il prodotto dei termini estremi
$$ a:b = c:d \Longleftrightarrow a \cdot d = b \cdot c $$
A cosa serve?
Il prodotto in croce è il metodo usato per verificare una proporzione o se due frazioni sono frazioni equivalenti
Un esempio pratico
Esempio 1
Considero queste frazioni
$$ \frac{3}{9} \ , \ \frac{5}{15} $$
Per verificare se sono frazioni equivalenti scrivo l'uguaglianza tra le due frazioni, perché se due frazioni sono equivalenti hanno lo stesso quoziente
$$ \frac{3}{9} = \frac{5}{15} $$
Poi calcolo il prodotto in croce delle due frazioni
$$ 3 \cdot 15 = 5 \cdot 9 $$
$$ 45 = 45 $$
I due prodotti in croce sono uguali, quindi le due frazioni sono frazioni equivalenti.
Esempio 2
Considero queste frazioni
$$ \frac{4}{7} \ , \ \frac{6}{10} $$
Per verificare se sono frazioni equivalenti scrivo l'uguaglianza tra le due frazioni
$$ \frac{4}{7} = \frac{6}{10} $$
Poi calcolo il prodotto in croce
$$ 4 \cdot 10 = 7 \cdot 6 $$
$$ 40 = 42 $$
In questo caso l'identità è falsa perché i due prodotti in croce sono diversi.
Quindi le due frazioni NON sono frazioni equivalenti.
Esempio 3
Considero questa proporzione
$$ 2:8 = 3:12 $$
Per verificare se la proporzione è vera calcolo il prodotto in croce dei medi e degli estremi della proporzione
$$ 2 \cdot 12 = 3 \cdot 8 $$
$$ 24 = 24 $$
I due prodotti in croce sono uguali, quindi la proporzione è vera.
Esempio 4
Considero questa proporzione
$$ 8:9 = 3:4 $$
Per verificare se la proporzione è vera calcolo il prodotto in croce dei medi e degli estremi della proporzione
$$ 8 \cdot 4 = 9 \cdot 3 $$
$$ 32 = 27 $$
In questo caso l'uguaglianza non è confermata perché i due prodotti in croce sono diversi. Quindi, NON è una proporzione.
La dimostrazione
Considero due frazioni equivalenti qualsiasi.
$$ \frac{a}{b} \ , \ \frac{c}{d} $$
Essendo frazioni equivalenti hanno lo stesso quoziente.
$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $$
Per la proprietà invariantiva delle frazioni moltiplico per d sia il numeratore che il denominatore della prima frazione.
$$ \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{d} = \frac{c}{d} $$ $$ \frac{ad}{bd} = \frac{c}{d} $$
Applico nuovamente la proprietà invariantiva delle frazioni e moltiplico per b sia il numeratore che il denominatore della seconda frazione.
$$ \frac{ad}{bd} = \frac{c}{d} \cdot \frac{b}{b} $$ $$ \frac{ad}{bd} = \frac{bc}{bd} $$
Per la proprietà invariantiva delle equazioni moltiplico per bd entrambi i membri dell'equazione.
$$ \frac{ad}{bd} \cdot bd = \frac{bc}{bd} \cdot bd $$
Poi semplifico
$$ \require{cancel} \frac{ad}{\cancel{bd}} \cdot \cancel{bd} = \frac{bc}{\cancel{bd}} \cdot \cancel{bd} $$
Il risultato finale è la formula del prodotto in croce
$$ ad = bc $$
Nota. Per dimostrare il prodotto in croce di una proporzione basta ricordarsi che una proporzione è l'uguaglianza tra due frazioni equivalenti $$ a:b = c:d \Longleftrightarrow \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $$ Quindi, una volta fatta questa affermazione, la dimostrazione è sempre la stessa.
E così via.
