Come trasformare un numero periodico in una frazione
Per trasformare un numero decimale periodico in una frazione, seguo questi passaggi utilizzando la formula:$$ \text{Frazione generatrice} = \frac{N - A}{D} $$ Dove:
- \(N\) è il numero completo (senza virgola, comprendendo tutte le cifre del periodo e dell'antiperiodo).
- \(A\) è la parte che precede il periodo (senza virgola).
- \(D\) è il denominatore, composto da \(9\) per ogni cifra del periodo e \(0\) per ogni cifra dell'antiperiodo.
Un esempio pratico
Il numero periodico semplice \(13.2\overline{31}\) ha questa frazione generatrice
$$ \text{Frazione generatrice} = \frac{13231 - 132}{990} = \frac{13099}{990} $$
In questo caso il numero senza virgola è \(N = 13231\), la parte del numero senza virgola e senza il periodo è \(A = 132\) e il denominatore è \(D = 990\) perché il periodo è composto tanti 9 quante sono le cifre del periodo (2) seguito da tanti 0 quante sono le cifre dell'antiperiodo (1)
Quindi, la frazione generatrice del numero è la seguente:
$$ 13.2\overline{31} = \frac{13099}{990} $$
Questo metodo è universale e permette di trovare la frazione generatrice di qualunque numero decimale periodico.
Un metodo alternativo
In questo metodo la conversione si basa sull’uso di una semplice equazione.
Per convertire un numero decimale periodico in una frazione:
- Assegno una variabile al numero. Ad esempio, \(x = 0,777...\).
- Moltiplica per una potenza di 10 che sposta l'antiperiodo (se esiste) e il periodo oltre il punto decimale (ad esempio, \(10x = 7,777...\)).
- Sottraggo l’equazione originale dalla nuova per eliminare la parte decimale periodica (es., \(10x - x = 7\)).
- Risolvo l’equazione per \(x\) (es., \(x = \frac{7}{9}\)).
Perché funziona? Questo metodo funziona perché i numeri decimali periodici possono essere rappresentati come somme infinite di una serie geometrica. Il procedimento sfrutta la proprietà che sottraendo una copia "spostata" del numero, il periodo infinito si cancella, lasciando un’equazione semplice.
Esempio
Ad esempio, voglio convertire il numero decimale periodico \(0,777...\) in frazione.
Definisco il numero come una variabile.
$$ x = 0,777... $$
Poi moltiplico entrambi i lati per una potenza di 10 che "sposta" il periodo a sinistra del punto decimale.
$$ 10 \cdot x = 10 \cdot 0,777... $$
$$ 10x = 7,777... $$
Sottraggo la prima equazione $ x = 0,777... $ dalla seconda $ 10x = 7,777... $.
$$ 10x - x = 7,777... - 0,777... $$
$$ 9x = 7 $$
Quindi, risolvo per la variabile \(x\):
$$ x = \frac{7}{9} $$
Quindi, \(0,777...\) si converte in \(\frac{7}{9}\).
Esempio 2
Prendo il numero \(0,16 \overline{23} \) e lo trasformo in frazione.
Definisco un'equazione del tipo:
$$ x = 0,16232323... $$
Separo il periodo dalla parte non ripetitiva, moltiplico per \(100\) entrambi i lati dell'equazione per portare la parte non ripetitiva (antiperiodo) a sinistra della virgola.
$$ 100 \cdot x = 100 \cdot 0,16232323... $$
$$ 100x = 16,232323... $$
Moltiplico di nuovo per una potenza di 10 per isolare il periodo (23).
$$ 100 \cdot 100x = 100 \cdot 16,232323... $$
$$ 10000x = 1623,232323... $$
Ora sottraggo la precedente equazione $ 100x = 16,232323... $ da quest'ultima $ 10000x = 1623,232323... $
$$ 10000x - 100x = 1623,232323... - 16,232323... $$
$$ 9900x = 1607 $$
Infine, ricavo \(x\)
$$ x = \frac{1607}{9900} $$
In questo caso, il numero decimale periodico \(0,16 \overline{23} \) si converte in \(\frac{1607}{9900}\).
E così via.
