La differenza tra frazioni decimali e frazioni ordinarie

Le frazioni sono dette frazioni decimali se sono equivalenti a una frazione in cui compare al denominatore una potenza di dieci con esponente diverso da zero.

In caso contrario, le frazioni non decimali sono dette frazioni ordinarie.

Le frazioni decimali

Una frazione decimale è una frazione in cui il denominatore è una potenza di 10 con esponente diverso da zero. $$ \frac{n}{10^m} \ \ con \ m \ne 0 $$

Alcuni esempi di frazioni decimali

$$ \frac{3}{10} \ , \ \frac{43}{100} \ , \ \frac{23}{1000} \ , \ ... $$

Ogni frazione decimale può essere scomposta in una somma di frazioni decimali che rappresentano la posizione decimale delle cifre del numeratore

$$ \frac{143}{100} = \frac{100}{100} + \frac{40}{100} + \frac{3}{100} $$

Calcolando il quoziente di ogni frazione si ottiene il numero decimale associato alla frazione

$$ \frac{143}{100} = \frac{100}{100} + \frac{40}{100} + \frac{3}{100} = 1 + 0,4 + 0,03 = 1,43 $$

Nella rappresentazione decimale ogni cifra ha un valore diverso a seconda della posizione.

La parte del numero prima della virgola è detta parte intera.

La parte del numero dopo la virgola è detta parte decimale.

Nota. La rappresentazione del numero si può ottenere anche dividendo direttamente il numeratore della frazione per il denominatore. $$ \frac{143}{100} = 143:100 = 1,43 $$

A ogni frazione decimale corrisponde sempre un numero decimale finito.

Si dice "finito" perché la parte decimale è composta da un numero finito di cifre.

Esempio. Questa frazione può essere scritta sotto forma di una frazione decimale portando il denominatore a una potenza di 10 tramite la proprietà invariantiva delle frazioni. $$ \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{75}{100} = 0,75 $$ Alla frazione è associato il numero decimale finito 0,75 con la parte decimale composta da due cifre.

Quindi, le frazioni decimali rappresentano solo una parte dei numeri razionali.

I numeri razionali che non possono essere rappresentati da frazioni decimali sono detti numeri decimali periodici.

Per rappresentare i numeri periodici si ricorre a frazioni non decimali dette frazioni ordinarie.

Le frazioni ordinarie

Una frazione ordinaria è una frazione non decimale.

Le frazioni ordinarie rappresentano i numeri decimali periodici.

Sono detti numeri decimali "periodici" perché hanno infinite cifre nella parte decimale che, a partire da un certo punto, si ripetono in sequenze uguali.

• Il gruppo di cifre decimali che si ripete è detto periodo.
• Il gruppo di cifre decimali che non si ripete fra la virgola e il periodo è detto antiperiodo.

Esempio. Questa frazione non è rappresentabile con un numero decimale perché non si riesce a ottenere una potenza di 10 al denominatore usando la proprietà invariantiva delle frazioni. $$ \frac{6}{7} = 0.85714285714 $$ E' un numero decimale periodico. In generale, per indicare un periodo si mette un trattino sopra le cifre del periodo. $$ \frac{6}{7} = 0.\overline{857142} $$ Esempio 2. Anche questa frazione non è rappresentabile con un numero decimale $$ \frac{5}{12} = 0.41666666666 = 0,41\overline{6} $$ In questo caso il periodo è composto da un'unica cifra (6) ed è presente un antiperiodo (41) nella parte decimale tra la virgola e il periodo.

Ogni numero decimale periodico è rappresentabile con una frazione tramite la frazione generatrice del numero periodico.

Per scrivere la frazione generatrice del numero periodico

• al numeratore scrivo la differenza tra il numero senza virgola completo e quello senza virgola e senza il periodo
• al denominatore scrivo tanti 9 quante sono le cifre del periodo e tanti 0 quante sono le cifre dell'antiperiodo.

Esempio. Devo rappresentare il numero decimale periodico $$ 0,41\overline{6} = \frac{n}{d} $$ Al numeratore scrivo il numero senza virgola 416 e gli sottraggo il numero senza virgola e senza il periodo (416-41) $$ 0,41\overline{6} = \frac{416 - 41}{d} = \frac{375}{d} $$ Al denominatore scrivo un 9 perché il periodo è composto da una cifra ripetuta (6) e due 0 perché l'antiperiodo (41) è composto da due cifre $$ 0,41\overline{6} = \frac{416 - 41}{d} = \frac{375}{900} $$ Questa è la frazione che genera il numero decimale periodico. Posso ulteriormente ridurre la frazione dividendo il numeratore e il denominatore per i divisori in comune o direttamente per il loro massimo comune divisore. $$ 0,41\overline{6} = \frac{416 - 41}{d} = \frac{375:5}{900:5} = \frac{75:5}{180:5} = \frac{15:3}{36:3} = \frac{5}{12}$$ Pertanto, la frazione generatrice del numero periodico ridotta ai minimi termini è la seguente $$ 0,41\overline{6} = \frac{5}{12}$$

E così via.