La riduzione delle frazioni a denominatore comune

Ridurre due frazioni a denominatore comune $$ \frac{a}{b} \ , \ \frac{c}{d} $$ vuol dire trovare due frazioni equivalenti che hanno lo stesso denominatore. $$ \frac{a \cdot k}{b \cdot k} \ , \ \frac{c \cdot j}{d \cdot j} \ \ dove \ \ b \cdot k=d \cdot j $$

Per ridurre due frazioni al denominatore comune applico la proprietà invariantiva a entrambe le frazioni fin quando ottengo lo stesso denominatore in entrambe.

Esistono infinite soluzioni a questo problema.

Esempio. Queste due frazioni hanno un denominatore diverso $$ \frac{1}{2} $$ $$ \frac{1}{3} $$ Applico la proprietà invariantiva a entrambe le frazioni per ottenere lo stesso denominatore. Moltiplico per 3 il numeratore e il denominatore della prima frazione. Poi moltiplico per 2 il numeratore e il denominatore della seconda frazione. In questo modo ottengo due frazioni equivalenti alle precedenti con lo stesso denominatore (6). $$ \frac{1}{2} \sim \frac{1 \cdot \color{red}3}{2 \cdot \color{red}3} = \frac{3}{6} $$ $$ \frac{1}{3} \sim \frac{1 \cdot \color{red}2}{3 \cdot \color{red}2} = \frac{2}{6} $$ Ovviamente esistono altre infinite frazioni equivalenti con lo stesso denominatore. Ad esempio $$ \frac{1}{2} \sim \frac{3}{6} \sim \frac{6}{12} \sim \frac{12}{24} \ ... $$ $$ \frac{1}{3} \sim \frac{2}{6} \sim \frac{4}{12} \sim \frac{8}{24} \ ... $$

In genere si sceglie la soluzione con il denominatore comune più piccolo.

In questo caso si parla di riduzione delle frazioni al minimo comune denominatore.

Esempio. La riduzione al minimo comune denominatore delle due frazioni precedenti è la seguente $$ \frac{1}{2} \sim \frac{3}{6} $$ $$ \frac{1}{3} \sim \frac{2}{6} $$

Per ridurre due frazioni al minimo denominatore comune basta calcolare il minimo comune multiplo dei denominatori e applicare la proprietà invariantiva.

Un esempio pratico

Queste due frazioni hanno un denominatore diverso l'una dall'altra.

$$ \frac{1}{12} $$

$$ \frac{2}{10} $$

Calcolo il minimo comune multiplo dei due denominatori delle frazioni

$$ mcm(12,10) = 60 $$

Nota. Scompongo i due numeri a fattori primi $$ 12 = 2^2 \cdot 3 $$ $$ 10 = 2 \cdot 5 $$ Poi moltiplico i fattori presi una sola volta con l'esponente più grande $$ mcm(12,10) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 60 $$ Il risultato è il minimo comune multiplo dei due numeri

Applico la proprietà invariantiva alla prima frazione per ottenere una frazione equivalente con denominatore uguale a 60.

In questo caso devo moltiplicare il numeratore e il denominatore della frazione per 5

$$ \frac{1}{12} \sim \frac{1 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{5}{60} $$

Nota. Per trovare il coefficiente di moltiplicazione basta dividere il denominatore desiderato (60) per il denominatore corrente (12) $$ 60:12 = 5 $$

Poi applico la proprietà invariantiva anche alla seconda frazione per ottenere una frazione equivalente con denominatore uguale a 60.

In questo caso devo moltiplicare il numeratore e il denominatore della frazione per 6

$$ \frac{2}{10} \sim \frac{2 \cdot 6}{10 \cdot 6} = \frac{12}{60} $$

Nota. Anche in questo caso per trovare il coefficiente di moltiplicazione divido il denominatore che voglio ottenere (60) per il denominatore corrente (10) della frazione $$ 60:10 = 6 $$

Ora le due frazioni hanno lo stesso denominatore.

$$ \frac{1}{12} \sim \frac{5}{60} $$

$$ \frac{2}{10} \sim \frac{12}{60} $$

Ho ridotto le due frazioni al minimo denominatore comune.

Nota. A volte per accelerare l'operazione di riduzione a denominatore comune si moltiplicano i due denominatori tra loro senza calcolare il minimo comune multiplo. E' una pratica frequente ... ma poco lungimirante perché, salvo rare eccezioni, si ottengono frazioni equivalenti con numeri molto più alti che complicano le operazioni di calcolo successive. Ad esempio, considero di nuovo le frazioni $$ \frac{1}{12} \ , \ \frac{2}{10} $$ Se moltiplico tra loro i due denominatori 12·10 senza calcolare il mcm ottengo un denominatore comune uguale a 120 anziché 60 $$ \frac{1 \cdot 10}{12 \cdot 10} \ , \ \frac{2 \cdot 12}{10 \cdot 12} $$ $$ \frac{10}{120} \ , \ \frac{24}{120} $$ Le due frazioni sono equivalenti alle precedenti ma hanno numeri più grandi rispetto a quelle che avrei ottenuto calcolando il minimo comune multiplo. Lavorare con numeri più grandi rende più difficili le operazioni di calcolo successive e aumenta il rischio di compiere degli errori di calcolo. Pertanto, il mio consiglio è di abituarsi a calcolare il minimo comune multiplo ogni volta che si vuole ridurre due frazioni a denominatore comune.

E così via.